Nas funções compostas, as variáveis independentes são substituídas por alguma função. Encontre a derivada da seguinte função: y = tg (x3+20):
A. (3x2 +20) sec2 (x3 +20).
B. x2 sec2 (x3 +20).
C. 3x2 sec2 (x3 +20).
D. 3x2 sec2 (x3).
E. 3x2 sec2 (x).
A. (3x2 +20) sec2 (x3 +20).
B. x2 sec2 (x3 +20).
C. 3x2 sec2 (x3 +20).
D. 3x2 sec2 (x3).
E. 3x2 sec2 (x).
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função composta $ y = \tan(x^3 + 20) $. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar: $ y = \tan(u) $, onde $ u = x^3 + 20 $. Aqui, $ u $ é a função interna.
Passo 3
Sabemos que a derivada da função tangente é $ \frac{d}{dx}[\tan(u)] = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} $. Isso é resultado da regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna $ u = x^3 + 20 $. A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $ e a derivada de uma constante, como 20, é 0. Então, $ \frac{du}{dx} = 3x^2 $.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, substituímos $ u $ e $ \frac{du}{dx} $ na derivada da função tangente:
Substituindo $ u = x^3 + 20 $:
Resposta
A derivada da função é $ 3x^2 \sec2(x3 + 20) $. Portanto, a opção correta é a C.