Assinale a alternativa INCORRETA.
( ) a sequência an=1+(-1)^n é não monótona e limitada
( ) a sequência an=1+1 / n é monótona e convergente
( ) uma sequência convergente não necessariamente é monótona
( ) a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente
( ) toda sequência decrescente e limitada converge para zero

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre sequências e pede para identificar a que é INCORRETA. O conteúdo envolvido é monotonicidade, limite, convergência e soma de sequências. Vamos verificar cada uma.

Passo 2

Analisando an=1+(-1)^n: os termos alternam entre 0 e 2, logo não há monotonicidade, e ficam sempre entre 0 e 2, ou seja, são limitados. Portanto a frase “não monótona e limitada” é correta.

Passo 3

Analisando an=1+tfrac1n: para n>=1 tem-se
an+1=1+tfrac1n+1<1+tfrac1n=an,
logo é monotona decrescente, e limntoinftyan=1, ou seja, convergente. A frase “monótona e convergente” é correta.

Passo 4

Afirmar que “uma sequência convergente não necessariamente é monótona” é verdadeiro: por exemplo an=(-1)^n/n converge a 0 mas oscila de sinal, então não é monotona.

Passo 5

Afirmar que “a soma de duas sequências divergentes pode ser convergente” também é verdadeiro: basta escolher an=n e bn=-n, ambas divergem, mas
an+bn=n+(-n)=0
converge.

Passo 6

A frase “toda sequência decrescente e limitada converge para zero” sugere que o limite de toda monotona decrescente limitada é 0, mas na verdade ela converge ao ínfimo, que pode ser diferente de zero. Por exemplo an=1+1/n é decrescente e limitada, mas converge a 1, não a 0. Logo essa afirmação é falsa.

Resposta

A quinta afirmação é INCORRETA.

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