Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^(4)+y^prime prime prime+y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^(4) + y^primeprimeprime + y^primeprime = 0
Vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação, cada derivada traz um fator r, de modo que o polinômio característico é
r^4 + r^3 + r^2 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio característico:
Dessa forma, as raízes são
e as raízes da quadrática
são

Passo 4

Cada raiz produz soluções independentes:
  • A raiz real de multiplicidade 2 gera
    e
  • As raízes complexas geram as soluções reais
    e

Resposta

y(x) = C1 + C2,x ;+; e^-x/2l(C3cos!l(tfracraiz32xr)+C4sin!l(tfracraiz32xr)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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