Determine os seguintes limites.
lim x +infty(x^2+1)^ln (1+1 / x)

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(x^2+1r)^lnl(1+tfrac1xr)
O conteúdo principal é tratar um limite do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo da expressão, avaliar o limite do expoente resultante e depois reexponeciar.

Passo 2

Defina
y = l(x^2+1r)^lnl(1+tfrac1xr)
Então
ln y = lnl(1+tfrac1xr),lnl(x^2+1r)
Nosso objetivo passa a ser
limxto+inftyln y,
pois ao final teremos y = e^limln y.

Passo 3

Para x grande usamos expansões de Taylor:
lnl(1+tfrac1xr) = tfrac1x - tfrac12x^2 + ol(x^-2r),
lnl(x^2+1r) = lnl(x^2r) + lnl(1+tfrac1x^2r) = 2ln x + tfrac1x^2 + ol(x^-2r)

Passo 4

Multiplicando as duas expansões obtemos
ln y = l(tfrac1x - tfrac12x^2 + o(x^-2)r) l(2ln x + tfrac1x^2 + o(x^-2)r)
Os termos principais são
tfrac1xcdot 2ln x = 2ln xx, -tfrac12x^2cdot 2ln x = -ln xx^2,
e ambos tendem a 0 quando xto+infty. Logo
limxto+inftyln y = 0

Passo 5

Como limln y = 0, concluímos
y = e^ln y longrightarrow e^0 = 1

Resposta

1

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