Assinale a alternativa verdadeira
a) \int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \operatorname{sen} 2 t d t=\frac{2}{169}
b) \int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \operatorname{sen} 3 t d t=\frac{1}{36}
c) \int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \cos 2 t d t=\frac{12}{169}
d) \int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \cos 2 t d t=\frac{5}{13}
e) \int_{0}^{\infty} t e^{-3 t} \operatorname{sen} 2 t d t=\frac{12}{169}

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das integrais impróprias abaixo é correta:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-3t}\sin(2t)\,dt,\quad \int_{0}^{\infty} t\,e^{-3t}\sin(3t)\,dt,\quad \int_{0}^{\infty} t\,e^{-3t}\cos(2t)\,dt
As alternativas usam valores específicos. Para resolver, vamos empregar propriedades de transformada de Laplace, já que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt
e vale que
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr].

Passo 2

Calcular
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Logo
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\sin(bt)\,dt =-\frac{d}{ds}\!\biggl[\frac{b}{s^{2}+b^{2}}\biggr] =\frac{2sb}{(s^{2}+b^{2})^{2}}.

Passo 3

Aplicando s=3 e b=2 na fórmula anterior, obtemos
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\sin(2t)\,dt =\frac{2\cdot3\cdot2}{(3^{2}+2^{2})^{2}} =\frac{12}{(9+4)^{2}} =\frac{12}{169}.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\cos(bt)\,dt.
Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
então
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\cos(bt)\,dt =-\frac{d}{ds}\!\biggl[\frac{s}{s^{2}+b^{2}}\biggr] =\frac{s^{2}-b^{2}}{(s^{2}+b^{2})^{2}}.
Em particular, para s=3 e b=2
\frac{9-4}{(9+4)^{2}} =\frac{5}{169}.

Passo 5

Agora comparamos com as alternativas:
a) dá 2/169, errado.
b) dá 1/36 em vez de 1/18, errado.
c) dá 12/169 para o cosseno, errado (é 5/169).
d) dá 5/13, errado (é 5/169).
e) diz que \int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\sin(2t)\,dt=\tfrac{12}{169}, que coincide com nosso cálculo.

Resposta

e) \displaystyle\int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\sin(2t)\,dt=\frac{12}{169}.

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