Determine os seguintes limites.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(1,0)} \frac{x \operatorname{sen}(y)}{x^{2}+1} i+\ln (x) j.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial \mathbf{F}(x,y)=\frac{x\sin(y)}{x^{2}+1}\,\mathbf{i}+\ln(x)\,\mathbf{j}
quando (x,y)\to(1,0). Para funções vetoriais de variáveis múltiplas, se cada componente tem limite, então o limite do vetor é o vetor dos limites. Vamos usar a continuidade de soma, produto, quociente (desde que o denominar não zere) e de \sin e \ln.

Passo 2

Analisamos a primeira componente \displaystyle f_1(x,y)=\frac{x\sin(y)}{x^{2}+1}.
Como x\mapsto x e y\mapsto\sin(y) são contínuas e x^{2}+1\neq0 perto de x=1, podemos substituir diretamente:
\lim_{(x,y)\to(1,0)}f_1(x,y) =\frac{1\cdot\sin(0)}{1^{2}+1} =\frac{1\cdot 0}{2} =0.

Passo 3

Agora a segunda componente \displaystyle f_2(x,y)=\ln(x).
A função \ln(x) é contínua em x=1, logo
\lim_{(x,y)\to(1,0)}f_2(x,y) =\ln(1) =0.

Passo 4

Juntando as componentes, o limite da função vetorial é
0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j}.

Resposta

O limite é \;0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}.

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