Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=g(t), y(0)=2, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = g(t),\quad y(0)=2,\quad y'(0)=3
e pede para expressar a solução y(t) como convolução entre o sinal de entrada g(t) e a resposta ao impulso do sistema.
O conteúdo aqui é teoria de sistemas LTI e transformada de Laplace, que nos permite identificar a função de transferência e a resposta ao impulso.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados (supondo y e g de ordem adequada), obtemos
(s^2+4s+4)Y(s) - \bigl[s\,y(0)+y'(0)+4\,y(0)\bigr] \;=\; G(s).
Como y(0)=2 e y'(0)=3, isso vira
Y(s)=\frac{s\cdot2 + 3 +4\cdot2}{s^2+4s+4} \;+\;\frac{G(s)}{s^2+4s+4} =\frac{2s+11}{(s+2)^2} \;+\;\frac{G(s)}{(s+2)^2}.
Reconhecemos a função de transferência
H(s)=\frac{1}{s^2+4s+4}=\frac{1}{(s+2)^2}.

Passo 3

A resposta ao impulso h(t) é a antitransformada de H(s). Como sabemos que
\mathcal{L}\{t\,e^{-2t}\}=\frac{1}{(s+2)^2},
segue
h(t)=t\,e^{-2t},\quad t\ge0.

Passo 4

A parte \tfrac{2s+11}{(s+2)^2} em Y(s) vem das condições iniciais e gera a solução livre (homogênea). Escrevemos
2s+11 = 2(s+2) + 7,
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\frac{2s+11}{(s+2)^2} =2\,\frac{1}{s+2} + 7\,\frac{1}{(s+2)^2}.
Invertendo cada termo, obtemos
y_{\rm lib}(t) = 2\,e^{-2t} + 7\,t\,e^{-2t}.

Passo 5

A parcela \tfrac{G(s)}{(s+2)^2}=H(s)\,G(s) corresponde em tempo à convolução de h com g:
y_{\rm part}(t) = (h*g)(t) = \int_{0}^{t}h(t-s)\,g(s)\,ds = \int_{0}^{t}(t-s)\,e^{-2(t-s)}\,g(s)\,ds.
Somando livre e particular, a solução completa é
y(t)=y_{\rm lib}(t)+y_{\rm part}(t) =2e^{-2t}+7t\,e^{-2t} +\int_{0}^{t}(t-s)\,e^{-2(t-s)}\,g(s)\,ds.

Resposta

y(t)=2e^{-2t}+7t\,e^{-2t} +\int_{0}^{t}(t-s)\,e^{-2(t-s)}\,g(s)\,ds.

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