Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma convolução.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para expressar a solução
como convolução entre o sinal de entrada
e a resposta ao impulso do sistema.
O conteúdo aqui é teoria de sistemas LTI e transformada de Laplace, que nos permite identificar a função de transferência e a resposta ao impulso.
O conteúdo aqui é teoria de sistemas LTI e transformada de Laplace, que nos permite identificar a função de transferência e a resposta ao impulso.
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados (supondo
e
de ordem adequada), obtemos
Como
e
, isso vira
Reconhecemos a função de transferência
Passo 3
A resposta ao impulso
é a antitransformada de
. Como sabemos que
segue
Passo 4
A parte
em
vem das condições iniciais e gera a solução livre (homogênea). Escrevemos
logo
Invertendo cada termo, obtemos
Passo 5
A parcela
corresponde em tempo à convolução de
com
:
Somando livre e particular, a solução completa é