Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função f(x)=x^2 ln x, para x>0.
Escolha uma opção:
f é estritamente crescente em ] 0, e^-12[.
O Nenhuma das demais alternativas
O f tem um ponto de inflexão no intervalo ] 0,1[.
circ f tem um ponto de máximo absoluto.
circ lim x 0^+ f(x)=-infty.
  • tem dois pontos de extremo local.

Passo 1

O enunciado pede análise de monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e limite da função f(x)=x^2ln x para x>0. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e propriedades de limites.

Passo 2

Calculamos a derivada de primeira ordem usando regra do produto: f'(x)=ddx(x^2)ln x + x^2ddx(ln x)=2xln x + x= x(2ln x + 1) O ponto crítico vem de 2ln x +1=0, ou seja x=e^-1/2. Estudando o sinal de f'(x), concluímos que f' <0 em ]0,e^-1/2[ e f'>0 em ]e^-1/2,infty[, logo há um único mínimo local em x=e^-1/2.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada para verificar concavidade: f''(x)=ddxl(x(2ln x +1)r)=2ln x +1 + 2=2ln x +3 O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0, ou seja ln x=-3/2 e x=e^-3/2, que pertence a ]0,1[ e troca o sinal de f''.

Passo 4

Analisando o limite em zero: usando a troca x=e^-t com tto+infty, temos f(x)=x^2ln x=-t e^-2t, cujo limite quando tto+infty é 0. Portanto limxto0^+f(x)=0, não -infty.

Passo 5

Dentre as afirmações dadas, apenas a que diz que f tem um ponto de inflexão em ]0,1[ é verdadeira.

Resposta

f tem um ponto de inflexão no intervalo ]0,1[.

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