Qual dos polinômios abaixo não representa um trinômio quadrado perfeito?
(I) x^2-6 x+9
(II) 4 x^2+8 x5+425
(III) 16 x^2+16 x+4
(IV) 9 x^2-48 x+64
(v) 25 x^2+80 x+100

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para identificar qual dos polinômios apresentados não é um trinômio quadrado perfeito. Então, estamos lidando com polinômios quadrados perfeitos, que são expressões algébricas que resultam do quadrado de um binômio. Para resolver isso, vamos analisar cada polinômio e verificar se ele pode ser decomposto como o quadrado de algum binômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um trinômio quadrado perfeito. É uma expressão da forma (a x + b)^2, que, ao ser expandida, resulta em:
(a x + b)^2 = a^2 x^2 + 2 a b x + b^2
Então, para cada polinômio dado, vamos ver se conseguimos encontrar valores de a e b que satisfaçam essa igualdade.

Passo 3

Vamos começar analisando o polinômio (I):
x^2 - 6x + 9
Comparando com a forma expandida (a x + b)^2, temos:
a^2 x^2 + 2 a b x + b^2 = x^2 - 6x + 9
Isso nos dá:
a^2 = 1 Rightarrow a = 1
2 a b = -6 Rightarrow b = -3
b^2 = 9 Rightarrow b = pm 3
Aqui, b = -3 satisfaz todas as condições, então o polinômio (I) é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser escrito como (x - 3)^2.

Passo 4

Agora, vamos para o polinômio (II):
4 x^2 + 8 x5 + 425
Comparando com (a x + b)^2:
a^2 = 4 Rightarrow a = 2
2 a b = 85 Rightarrow 2 times 2 times b = 85 Rightarrow b = 85 times 4 = 25
b^2 = (25)^2 = 425
Tudo confere, então o polinômio (II) também é um trinômio quadrado perfeito, pois é (2x + 25)^2.

Passo 5

Vamos continuar com o polinômio (III):
16 x^2 + 16 x + 4
Aplicando a mesma comparação:
a^2 = 16 Rightarrow a = 4
2 a b = 16 Rightarrow 2 times 4 times b = 16 Rightarrow b = 2
b^2 = 4
Tudo certinho, então o polinômio (III) é um trinômio quadrado perfeito, já que pode ser escrito como (4x + 2)^2.

Passo 6

Vamos ao polinômio (IV):
9 x^2 - 48 x + 64
Vamos verificar:
a^2 = 9 Rightarrow a = 3
2 a b = -48 Rightarrow 2 times 3 times b = -48 Rightarrow b = -8
b^2 = (-8)^2 = 64
Tudo confere novamente, então o polinômio (IV) é um trinômio quadrado perfeito, pois é (3x - 8)^2.

Passo 7

Agora, vamos verificar o polinômio (V):
25 x^2 + 80 x + 100
Aplicando a comparação:
a^2 = 25 Rightarrow a = 5
2 a b = 80 Rightarrow 2 times 5 times b = 80 Rightarrow b = 8
b^2 = 64
Aqui, percebemos que b^2 = 64 não é igual ao termo constante 100. Isso significa que não conseguimos encontrar um b que satisfaça todas as condições simultaneamente.

Resposta

O polinômio (V) 25 x^2 + 80 x + 100 não é um trinômio quadrado perfeito.

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