Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de base circular com raio r e altura h.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo cilindros e cones. O enunciado pede para encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido em um cone reto com base circular de raio $ r $ e altura $ h $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para maximizar o volume do cilindro dentro do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o cone e o cilindro. Imagine o cone com base de raio $ r $ e altura $ h $. Um cilindro inserido nesse cone terá altura $ y $ e raio $ x $ da sua base. Nosso objetivo é expressar o volume do cilindro em função de uma única variável.
Passo 3
Para relacionar $ x $ e $ y $, observamos que, à medida que o cilindro aumenta sua altura $ y $, o raio $ x $ deve diminuir para se ajustar dentro do cone. A proporção das dimensões do cone nos dá a relação:
Rearranjando para encontrar $ x $ em função de $ y $:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume $ V $ do cilindro em função de $ y $. O volume de um cilindro é dado por:
Substituindo $ x $ na equação:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza o volume, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $ e igualar a derivada a zero:
Simplificando:
Desconsideramos $ y = 0 $ e obtemos:
Passo 6
Agora que temos $ y = \frac{3h}{5} $, substituímos de volta na relação entre $ x $ e $ y $:
Resposta
As dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido no cone são: