Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de base circular com raio r e altura h.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo cilindros e cones. O enunciado pede para encontrar as dimensões (raio e altura) do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido em um cone reto com base circular de raio $ r $ e altura $ h $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo para maximizar o volume do cilindro dentro do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o cone e o cilindro. Imagine o cone com base de raio $ r $ e altura $ h $. Um cilindro inserido nesse cone terá altura $ y $ e raio $ x $ da sua base. Nosso objetivo é expressar o volume do cilindro em função de uma única variável.

Passo 3

Para relacionar $ x $ e $ y $, observamos que, à medida que o cilindro aumenta sua altura $ y $, o raio $ x $ deve diminuir para se ajustar dentro do cone. A proporção das dimensões do cone nos dá a relação:
x
Rearranjando para encontrar $ x $ em função de $ y $:
y

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume $ V $ do cilindro em função de $ y $. O volume de um cilindro é dado por:
V
Substituindo $ x $ na equação:
y

Passo 5

Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza o volume, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $ e igualar a derivada a zero:
y
Simplificando:
V
Desconsideramos $ y = 0 $ e obtemos:
y

Passo 6

Agora que temos $ y = \frac{3h}{5} $, substituímos de volta na relação entre $ x $ e $ y $:
y = 3h5

Resposta

As dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido no cone são:
Raio do cilindro x = 3r2
A

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