Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função
, para
.
tem um ponto de máximo absoluto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x² ln x, definida em x>0, possui ponto de máximo absoluto. Vamos usar cálculo de derivadas para achar extremos e analisar os limites da função.
Passo 2
Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x² ln x, pela regra do produto temos:
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
Como x>0, descartamos x=0. Então ficamos com 2 ln x+1=0, ou seja ln x=-1/2, isto é x=e^{-1/2}.
Passo 4
Para saber se é máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
No ponto x=e^{-1/2}, temos ln x=-1/2, logo f’’(e^{-1/2})=2(-1/2)+3=2>0, indicando mínimo local, não máximo.
Passo 6
Agora analisamos o comportamento nos extremos do domínio. Quando x→0+,
e quando x→+∞,
Passo 7
Como a função cresce sem limite quando x→∞, não existe máximo absoluto.
Portanto, a afirmação de que f tem ponto de máximo absoluto é falsa.
Portanto, a afirmação de que f tem ponto de máximo absoluto é falsa.
Resposta
Falsa.