Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função f(x)=x^2 ln x, para x>0.
f tem um ponto de máximo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x² ln x, definida em x>0, possui ponto de máximo absoluto. Vamos usar cálculo de derivadas para achar extremos e analisar os limites da função.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x² ln x, pela regra do produto temos:
f'(x)=ddx(x²)cdotln x + x²cdotddx(ln x)=2xln x + x²cdot1x=2xln x + x²²²

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
x,(2ln x +1)=0
Como x>0, descartamos x=0. Então ficamos com 2 ln x+1=0, ou seja ln x=-1/2, isto é x=e^{-1/2}.

Passo 4

Para saber se é máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(2xln x + x)=2ln x +2 +1=2ln x +3

Passo 5

No ponto x=e^{-1/2}, temos ln x=-1/2, logo f’’(e^{-1/2})=2(-1/2)+3=2>0, indicando mínimo local, não máximo.

Passo 6

Agora analisamos o comportamento nos extremos do domínio. Quando x→0+,
limxto0+x²ln x=0,²
e quando x→+∞,
limxto+inftyx²ln x=+infty²

Passo 7

Como a função cresce sem limite quando x→∞, não existe máximo absoluto.
Portanto, a afirmação de que f tem ponto de máximo absoluto é falsa.

Resposta

Falsa.

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