Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função f(x)=x^2 ln x, para x>0.
f tem um ponto de inflexão no intervalo ] 0,1[.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x² ln x, definida para x>0, possui um ponto de inflexão no intervalo (0,1). O conteúdo envolve derivadas segunda e terceira e o conceito de ponto de inflexão, isto é, mudança de concavidade quando f″(x) passa pelo zero.

Passo 2

Para começar, calculamos a primeira derivada usando a regra do produto. Seja f(x)=x²·ln x, então
f'(x)=ddx[x^2]cdotln x + x^2cdotddx[ln x]
f'(x)=2xln x + x^2cdot1x=2xln x + x = x,(2ln x +1).

Passo 3

A seguir, derivamos novamente para obter f″(x):
f''(x)=ddxl[x,(2ln x +1)r]=1cdot(2ln x +1)+xcdot2cdot1x=2ln x +1+2=2ln x +3

Passo 4

Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos f″(x)=0:
2ln x +3=0Rightarrowln x=-tfrac32Rightarrow x=e^-3/2approx0,2231

Passo 5

Como 0<e^{-3/2}<1, esse x está em (0,1). Agora, para confirmar ponto de inflexão, checamos mudança de sinal de f″(x): para x<e^{-3/2}, ln x<−3/2 torna f″(x)<0 (concavidade para baixo), e para x>e^{-3/2} f″(x)>0 (concavidade para cima).
Portanto, f″(x) muda de sinal em x=e^{-3/2}∈(0,1), garantindo um ponto de inflexão nesse intervalo.

Resposta

Verdadeiro

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