Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função
, para
.
tem um ponto de inflexão no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x² ln x, definida para x>0, possui um ponto de inflexão no intervalo (0,1). O conteúdo envolve derivadas segunda e terceira e o conceito de ponto de inflexão, isto é, mudança de concavidade quando f″(x) passa pelo zero.
Passo 2
Para começar, calculamos a primeira derivada usando a regra do produto. Seja f(x)=x²·ln x, então
Passo 3
A seguir, derivamos novamente para obter f″(x):
Passo 4
Para encontrar candidatos a ponto de inflexão, resolvemos f″(x)=0:
Passo 5
Como 0<e^{-3/2}<1, esse x está em (0,1). Agora, para confirmar ponto de inflexão, checamos mudança de sinal de f″(x): para x<e^{-3/2}, ln x<−3/2 torna f″(x)<0 (concavidade para baixo), e para x>e^{-3/2} f″(x)>0 (concavidade para cima).
Portanto, f″(x) muda de sinal em x=e^{-3/2}∈(0,1), garantindo um ponto de inflexão nesse intervalo.
Portanto, f″(x) muda de sinal em x=e^{-3/2}∈(0,1), garantindo um ponto de inflexão nesse intervalo.
Resposta
Verdadeiro