Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função
, para
.
tem dois pontos de extremo local.
Passo 1
Temos a função f(x)=x² ln x para x>0 e queremos ver se ela tem dois extremos locais. Vamos usar derivadas para encontrar e classificar os pontos críticos.
Passo 2
Calcule a primeira derivada. Usando a regra do produto,
f’(x)=d(x²)/dx·ln x + x²·d(ln x)/dx.
Colocando em forma simplificada:
f’(x)=d(x²)/dx·ln x + x²·d(ln x)/dx.
Colocando em forma simplificada:
Passo 3
Encontre os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
Como x>0, a solução é 2 ln x+1=0 ⇒ ln x=–½ ⇒ x=e^{–1/2}.
Passo 4
Calcule a segunda derivada para classificar o ponto.
Avalie em x=e^{–1/2}:
ou seja, é um mínimo local. Não há outro ponto crítico, pois f’ só se anula ali.
Passo 5
Portanto, há apenas um extremo local (um mínimo) e não dois.
Resposta
A afirmação é falsa. A função tem apenas um ponto de extremo local (mínimo em x=e^{-1/2}).