Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função f(x)=x^2 ln x, para x>0.
f tem dois pontos de extremo local.

Passo 1

Temos a função f(x)=x² ln x para x>0 e queremos ver se ela tem dois extremos locais. Vamos usar derivadas para encontrar e classificar os pontos críticos.

Passo 2

Calcule a primeira derivada. Usando a regra do produto,
f’(x)=d(x²)/dx·ln x + x²·d(ln x)/dx.
Colocando em forma simplificada:
f'(x)=2xln x + x= xl(2ln x + 1r)

Passo 3

Encontre os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
x(2ln x +1)=0
Como x>0, a solução é 2 ln x+1=0 ⇒ ln x=–½ ⇒ x=e^{–1/2}.

Passo 4

Calcule a segunda derivada para classificar o ponto.
f''(x)=ddxl(x(2ln x +1)r)=2ln x +3
Avalie em x=e^{–1/2}:
f''(e^1/2)=2(-tfrac12)+3=2>0,
ou seja, é um mínimo local. Não há outro ponto crítico, pois f’ só se anula ali.

Passo 5

Portanto, há apenas um extremo local (um mínimo) e não dois.

Resposta

A afirmação é falsa. A função tem apenas um ponto de extremo local (mínimo em x=e^{-1/2}).

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