Calcule
integral-3^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^9-x^2-y^2 raizx^2+y^2 d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo
integral-3^3integral0^raiz9-x^2integral0^9-x^2-y^2raizx^2+y^2,dz,dy,dx
O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas, já que a integranda é raizx^2+y^2.

Passo 2

A projeção da região no plano xy é o semicírculo de raio 3 com y>=0. Para cada ponto desse semicírculo, z varia de 0 até 9 - x^2 - y^2. Em coordenadas polares vemos logo que
rin[0,3],thetain[0,pi], zin[0,9-r^2]

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis
x = rcostheta, y = rsintheta,
com jacobiano r. A integranda raizx^2+y^2 vira r, então o elemento de volume dá um fator extra r, perfazendo o integrando total
rcdot r = r^2

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^9-r^2r^2,dz = r^2(9-r^2)

Passo 5

Em seguida integramos em r de 0 a 3:
integral0^3r^2(9-r^2),dr = integral0^3(9r^2-r^4),dr = l[3r^3 - r^55r]0^3 = 81 - 2435 = 1625

Passo 6

Por fim integramos em theta de 0 a pi:
integral0^pi1625,dtheta = 1625pi

Resposta

162pi5

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