Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral triplo
O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas, já que a integranda é
.
Passo 2
A projeção da região no plano
é o semicírculo de raio 3 com
. Para cada ponto desse semicírculo,
varia de 0 até
. Em coordenadas polares vemos logo que
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis
com jacobiano
. A integranda
vira
, então o elemento de volume dá um fator extra
, perfazendo o integrando total
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Em seguida integramos em
de 0 a 3:
Passo 6
Por fim integramos em
de 0 a
: