Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função
, para
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Passo 1
O enunciado pede para analisar a função f(x)=x² ln x, no domínio x>0, e verificar se a afirmação limₓ→0⁺ f(x)=−∞ é verdadeira. Vamos usar conceitos de limites e formas indeterminadas.
Passo 2
Ao analisar limₓ→0⁺ x² ln x notamos que ln x→−∞ e x²→0⁺, logo cada fator separadamente tende a ∞ (em sinal negativo) e a 0. Isso dá a forma indeterminada 0·(−∞).
Para resolver essa indeterminação, reescrevemos a expressão como quociente: x² ln x = ln x / x^{−2}. Assim, limₓ→0⁺ ln x / x^{−2} tem a forma (−∞)/(+∞), ainda indeterminada, permitindo aplicar a regra de L’Hôpital.
Para resolver essa indeterminação, reescrevemos a expressão como quociente: x² ln x = ln x / x^{−2}. Assim, limₓ→0⁺ ln x / x^{−2} tem a forma (−∞)/(+∞), ainda indeterminada, permitindo aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: derivada de ln x é 1/x; derivada de x^{−2} é −2 x^{−3}. Então
Passo 4
Concluímos que limₓ→0⁺ x² ln x = 0, portanto a afirmação limₓ→0⁺ f(x)=−∞ é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa, pois
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