Assinale a alternativa verdadeira a respeito da função f(x)=x^2 ln x, para x>0.
lim x 0^+ f(x)=-infty.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=x² ln x, no domínio x>0, e verificar se a afirmação limₓ→0⁺ f(x)=−∞ é verdadeira. Vamos usar conceitos de limites e formas indeterminadas.

Passo 2

Ao analisar limₓ→0⁺ x² ln x notamos que ln x→−∞ e x²→0⁺, logo cada fator separadamente tende a ∞ (em sinal negativo) e a 0. Isso dá a forma indeterminada 0·(−∞).
Para resolver essa indeterminação, reescrevemos a expressão como quociente: x² ln x = ln x / x^{−2}. Assim, limₓ→0⁺ ln x / x^{−2} tem a forma (−∞)/(+∞), ainda indeterminada, permitindo aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: derivada de ln x é 1/x; derivada de x^{−2} é −2 x^{−3}. Então
limxto0^+ln xx^-2=limxto0^+1/x-2x^-3=limxto0^+l(-tfrac12r)x^2=0

Passo 4

Concluímos que limₓ→0⁺ x² ln x = 0, portanto a afirmação limₓ→0⁺ f(x)=−∞ é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa, pois limxto0^+x^2ln x=0.

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