Parametrize a porção de (x-1)^2+(y-1)^2=1 entre as superfícies z=0 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a porção da superfície cilíndrica definida por (x-1)^2+(y-1)^2=1 limitada pelas superfícies planas z=0 e z=4. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies, em especial um cilindro vertical.

Passo 2

Para parametrizar um cilindro de raio 1 com centro na reta paralela ao eixo z que passa em (1,1), lembramos que a seção horizontal é um círculo de raio 1. Uma parametrização padrão de um círculo de raio 1 centrado em (1,1) usa um parâmetro angular t variando de 0 a 2pi:
x(t)=1+cos t,
y(t)=1+sin t

Passo 3

Como a superfície cilíndrica se estende verticalmente entre z=0 e z=4, introduzimos um segundo parâmetro s que vai de 0 a 4 para representar a altura. Não há acoplamento entre t e s pois o cilindro é reto.

Passo 4

A parametrização final fica então
r(t,s)=l(1+cos t,;1+sin t,;sr),
com tin[0,2pi] e sin[0,4].

Resposta

r(t,s)=l(1+cos t,;1+sin t,;sr), tin[0,2pi],;sin[0,4].

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