Determine qual das funções abaixo é solução para a equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial simples aqui. O problema pede para descobrir qual das funções listadas resolve a equação $ y’ = e^{x} $. Para isso, vamos precisar saber o que é uma equação diferencial e como encontrar a derivada de uma função. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ y’ $. $ y’ $ representa a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. Então, a equação $ y’ = e^{x} $ quer dizer que a derivada de $ y $ é igual a $ e^{x} $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada opção e calcular a derivada para ver qual delas satisfaz a equação $ y’ = e^{x} $.
Passo 4
Opção A: $ y = -e^{x} + C $
Calculando a derivada:
Comparando com $ y’ = e^{x} $, vemos que $ -e^{x} \neq e^{x} $. Então, essa não é a correta.
Passo 5
Opção B: $ y = e^{x} + C $
Calculando a derivada:
Aqui, $ y’ = e^{x} $, que é exatamente o que a equação pede. Então, essa é a correta!
Passo 6
Opção C: $ y = e^{2x} + C $
Calculando a derivada:
Claramente, $ 2e^{2x} \neq e^{x} $. Portanto, essa não é a solução.
Passo 7
Opção D: $ y = 2e^{x} + C $
Calculando a derivada:
Aqui, $ 2e^{x} \neq e^{x} $. Assim, essa também não é a correta.
Passo 8
Opção E: $ y = e^{-x} + C $
Calculando a derivada:
Vemos que $ -e^{-x} \neq e^{x} $. Então, essa não é a solução.
Resposta
A função que é solução para a equação diferencial $ y’ = e^{x} $ é: