Determine qual das funções abaixo é solução para a equação diferencial: y^prime=e^x
Escolha uma opção:
y=-e^x+C
y=e^x+C
y=e^2 x+C
y=2 e^x+C
y=e^-x+C
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial simples aqui. O problema pede para descobrir qual das funções listadas resolve a equação $ y’ = e^{x} $. Para isso, vamos precisar saber o que é uma equação diferencial e como encontrar a derivada de uma função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ y’ $. $ y’ $ representa a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. Então, a equação $ y’ = e^{x} $ quer dizer que a derivada de $ y $ é igual a $ e^{x} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada opção e calcular a derivada para ver qual delas satisfaz a equação $ y’ = e^{x} $.

Passo 4

Opção A: $ y = -e^{x} + C $
Calculando a derivada:
y = -e^x + C
Comparando com $ y’ = e^{x} $, vemos que $ -e^{x} \neq e^{x} $. Então, essa não é a correta.

Passo 5

Opção B: $ y = e^{x} + C $
Calculando a derivada:
y = e^x + C
Aqui, $ y’ = e^{x} $, que é exatamente o que a equação pede. Então, essa é a correta!

Passo 6

Opção C: $ y = e^{2x} + C $
Calculando a derivada:
y = e^2x + C
Claramente, $ 2e^{2x} \neq e^{x} $. Portanto, essa não é a solução.

Passo 7

Opção D: $ y = 2e^{x} + C $
Calculando a derivada:
y = 2e^x + C
Aqui, $ 2e^{x} \neq e^{x} $. Assim, essa também não é a correta.

Passo 8

Opção E: $ y = e^{-x} + C $
Calculando a derivada:
y = e^-x + C
Vemos que $ -e^{-x} \neq e^{x} $. Então, essa não é a solução.

Resposta

A função que é solução para a equação diferencial $ y’ = e^{x} $ é:
y' = e^x

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