Assinale as alternativas corretas referente a aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(1,2,3)=(6,-1,-2,-4) ; T(0,1,2)=(3,-1,-2,-3) \text { e } T(0,0,-3)=(-3,0,3,3)
Obs: Cada alternativa assinalada errada, cancelará uma certa!
Escolha uma ou mais:
a) T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, x-z)
b) T(x, y, z)=\left(\frac{x+y+z}{3}, \frac{x-2 y+z}{3}, \frac{x+y-2 z}{3}\right)
c) T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, x-z, x-y-z)
d) T(x, y, z, w)=(x+y+z, x-y, x-z)
e) T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x-y, x-z, x-w)
f) T(x, y, z, w)=\left(\frac{x+y+z+w}{4}, \frac{x-3 y+z+w}{4}, \frac{x+y-3 z+w}{4}, \frac{x+y+z-3 w}{4}\right)
g) T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x-y, x-z)
h) T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x+y, z+w,-x-y-z-w)
i) \quad T(x, y, z, w)=(x+y, y+z, z+w, w)
j) \quad T(x, y, z, w)=(x-y+z-w, y-z+w, z-w, w)
k) ÉInjetora
l) Não é Injetora
m) É Sobrejetora
n) Não é Sobrejetora
o) É Bijetora
p) Não é Bijetora
q) T^{-1}(a, b, c)=\left(\frac{a+b+c}{3}, \frac{a-2 b+c}{3}, \frac{a+b-2 c}{3}\right)
r) T^{-1}(a, b, c, d)=\left(\frac{a+b+c+d}{4}, \frac{a-3 b+c+d}{4}, \frac{a+b-3 c+d}{4}, \frac{a+b+c-3 d}{4}\right)
s) T^{-1}(a, b, c, d)=(a-b+c-d, b-c+d, c-d, d)
t) Não tem inversa
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 através de três imagens:
T(1,2,3)=(6,-1,-2,-4).
T(0,1,2)=(3,-1,-2,-3).
T(0,0,-3)=(-3,0,3,3).
A tarefa é assinalar quais das alternativas (a)–(t) são corretas em relação a essa aplicação T. Vou usar apenas as informações acima (elas são suficientes) e a linearidade de T. Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi dado.
Passo 2
Usar a terceira imagem para encontrar T(e_3), onde e_3=(0,0,1).
Pelo enunciado T(0,0,-3)=-3\,T(e_3)=(-3,0,3,3). Portanto
T(e_3)=\frac{(-3,0,3,3)}{-3}=(1,0,-1,-1).
Explicação didática: como T é linear, T(\lambda v)=\lambda T(v). Aqui v=e_3 e \lambda=-3.
Passo 3
Usar a segunda imagem para obter T(e_2), onde e_2=(0,1,0).
Temos T(0,1,2)=T(e_2)+2T(e_3)=(3,-1,-2,-3). Já encontramos T(e_3)=(1,0,-1,-1). Então
Observação didática: montou-se a imagem de um vetor qualquer escrevendo-o na base canônica e usando linearidade.
Passo 6
Comparação com alternativas que definem funções (fórmulas):
A alternativa (c) diz exatamente T(x,y,z)=(x+y+z,x-y,x-z,x-y-z). Isso coincide com a fórmula que obtivemos. Portanto (c) é correta.
Alternativas que definem T com domínio ou contraditórias (por exemplo (a), (b), (d)–(j)) não coincidem com a fórmula encontrada ou têm domínio/codomain diferentes; por exemplo (a) e (b) entregam apenas três componentes (mapas para \mathbb{R}^3), enquanto T vai para \mathbb{R}^4; (d)–(j) usam entrada com quatro coordenadas ou fórmulas diferentes. Logo nenhuma dessas é correta. Não preciso checar todas numericamente pois a fórmula exata de T já mostrou incompatibilidade direta.
Passo 7
Verificar injetividade (se [T) é injetora).
Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4, T é injetora se e só se \ker T=\{0\}. Escrevo o sistema T(x,y,z)=0 usando a fórmula:
Das equações x-y=0\] e \(x-z=0 obtemos y=x e z=x. Substituindo em x+y+z=0 dá 3x=0 então x=0, e assim y=z=0. Logo o núcleo é trivial, \ker T=\{0\}. Conclusão: T é injetora.
Portanto a alternativa (k) “É Injetora” é correta e (l) “Não é Injetora” é falsa.
Passo 8
Verificar sobrejetividade (se T é sobrejetora).
Teoria prática: \dim(\text{Im }T)\le \min(\dim\text{(domínio)},\dim\text{(codomínio)})íí. Aqui domínio tem dimensão 3 e codomínio dimensão 4. Assim \dim(\text{Im }T)\le 3, portanto não pode ser igual a 4. Logo T não é sobrejetora.
Consequência: alternativa (m) “É Sobrejetora” é falsa; (n) “Não é Sobrejetora” é correta.
Passo 9
Concluir sobre bijetividade:
Bijetora exige injetora e sobrejetora simultaneamente. Temos injetora, mas não sobrejetora; logo T não é bijetora.
Assim (o) “É Bijetora” é falsa; § “Não é Bijetora” é verdadeira.
Passo 10
Questão da existência de inversa e das fórmulas (q)–(s):
Uma inversa total T^{-1}:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 (bijetora) não existe porque T não é sobrejetora. Portanto a alternativa (t) “Não tem inversa” é correta (interpretação padrão: não existe inversa global T^{-1}:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3).
Sobre (q): essa fórmula é a inversa do mapa que envia (x,y,z) em (x+y+z,x-y,x-z) (os três primeiros componentes de T); de fato a matriz 3\times3 formada pelas três primeiras linhas tem determinante 3 e sua inversa é \tfrac{1}{3} vezes a matriz indicada em (q). Porém (q) não é a inversa de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 como mapa \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3, pois T não é sobrejetora e seus elementos de imagem têm quatro componentes. Logo (q) é incorreta no sentido pedido pelo enunciado. Assim (q) é falsa no contexto.
Alternativas ® e (s) dão fórmulas de inversa que não correspondem ao T que achamos ® até aparenta ser inversa de alguma matriz 4\times4, (s) tem quatro componentes de saída; ambas não descrevem T^{-1} para o T dado. Portanto ® e (s) são falsas.
Resumo lógico: existe inversa à direita ou à esquerda parcial? Há left-inverses lineares (maps L:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 com L\circ T=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^3}), porque T é injetora; mas não existe inversa global definida em todo \mathbb{R}^4 que seja a inversa de T. O enunciado lista (t) “Não tem inversa” — essa é a afirmação correta no sentido usual.