Determine a equação do plano que contém a reta
e que forma um ángulo de
com o plano
Passo 1
O que o problema dá e pede (tudo retirado do enunciado):
- A reta
está dada por um ponto e um vetor diretor: - Ponto de referência da reta:
. - Vetor diretor da reta:
.
- Ponto de referência da reta:
- O plano dado tem equação
cujo vetor normal é . - O enunciado pede: determinar a equação(es) do(s) plano(s) que:
- contêm a reta
(ou seja, contêm e são paralelos a ); - formam um ângulo de
com o plano dado.
- contêm a reta
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Um plano pode ser escrito como
, onde: -
é um vetor normal ao plano (perpendicular a todo vetor do plano); -
é o vetor posição genérico; -
é um ponto do plano.
-
- Se uma reta com vetor diretor
está contida num plano, então o vetor normal do plano satisfaz . Isso vem de que é perpendicular a qualquer vetor do plano, e é um vetor do plano. - O ângulo
entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. A fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores e é onde é a norma (comprimento) do vetor e usamos valor absoluto porque o ângulo entre planos é sempre tomado no intervalo (ângulo agudo). - No problema,
, então . Assim a condição será
Passo 3
Aplicar a condição de conter a reta
: seja
o normal desconhecido do plano procurado. Como
e
, temos
Logo podemos escrever
. Isso reduz o número de incógnitas para
e
.
Passo 4
Escrever a condição do ângulo
. Primeiro calculemos os elementos da fórmula:
- Produto escalar com
: - Norma de
: - Norma de
:
A condição do cosseno com
é
Multiplicando e isolando, obtemos
Para eliminar o módulo e a raiz, elevamos ao quadrado (isso pode introduzir soluções spúrias relativas ao sinal, mas o módulo já cuida do sinal; ao final aceitaremos as direções de
resultantes):
Passo 5
Desenvolver e simplificar a equação resultante:
- Lado esquerdo:
. - Lado direito:
.
Igualando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passando termos para um lado:
Calcular o coeficiente:
portanto
Multiplicando por
para simplificar:
Assim obtemos duas possibilidades:
ou
.
Passo 6
Resolver a primeira possibilidade
.
- Se
e lembrando , temos . Qualquer múltiplo é equivalente, então escolhemos para um representante simples: . - A equação do plano usando o ponto
é ou seja - Desenvolvendo:
- Verificação rápida (tranquila): qualquer ponto da reta
tem coordenadas . Substituindo em dá , então a reta está realmente contida no plano.
Passo 7
Resolver a segunda possibilidade
.
- Tomando
para simplificar (qualquer múltiplo dá o mesmo plano), obtemos . - Escrevendo a equação do plano com este normal e o ponto
: - Desenvolvendo:
- Verificação rápida: para um ponto da reta
, então a reta também está contida neste plano.
Passo 8
Interpretação final e observação:
- Obtivemos duas direções normais possíveis que satisfazem simultaneamente as duas condições (contém a reta e faz ângulo
com o plano dado). Isso é esperado: geometricamente, através de uma reta passa uma família de planos; entre esses, normalmente aparecem duas que formam um mesmo ângulo agudo fixo com um plano dado (uma abertura para cada lado da reta). - As equações obtidas são as duas soluções distintas do problema.