Determine a equação do plano que contém a reta
r: r^{\prime}=(1,2,3)+t(1,1,0)
e que forma um ángulo de 45^{\circ} com o plano
x-2 y+2 z-1=0

Passo 1

O que o problema dá e pede (tudo retirado do enunciado):
  • A reta r está dada por um ponto e um vetor diretor:
    • Ponto de referência da reta: P_0=(1,2,3).
    • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(1,1,0).
  • O plano dado tem equação x-2y+2z-1=0,cujo vetor normal é \vec{n}_1=(1,-2,2).
  • O enunciado pede: determinar a equação(es) do(s) plano(s) que:
    1. contêm a reta r (ou seja, contêm P_0 e são paralelos a \vec{v});
    2. formam um ângulo de 45^\circ com o plano dado.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Um plano pode ser escrito como \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0, onde:
    • \vec{n} é um vetor normal ao plano (perpendicular a todo vetor do plano);
    • \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico;
    • \vec{r_0} é um ponto do plano.
  • Se uma reta com vetor diretor \vec{v} está contida num plano, então o vetor normal \vec{n} do plano satisfaz \vec{n}\cdot\vec{v}=0. Isso vem de que \vec{n} é perpendicular a qualquer vetor do plano, e \vec{v} é um vetor do plano.
  • O ângulo \theta entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. A fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores \vec{n} e \vec{n}_1 é \cos\theta=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{n}_1|}{\|\vec{n}\|\,\|\vec{n}_1\|},onde \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor e usamos valor absoluto porque o ângulo entre planos é sempre tomado no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] (ângulo agudo).
  • No problema, \theta=45^\circ, então \cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim a condição será \frac{|\vec{n}\cdot\vec{n}_1|}{\|\vec{n}\|\,\|\vec{n}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Aplicar a condição de conter a reta r: seja \vec{n}=(a,b,c) o normal desconhecido do plano procurado. Como \vec{n}\cdot\vec{v}=0 e \vec{v}=(1,1,0), temos
a+b+0\cdot c=0\quad\Rightarrow\quad b=-a.
Logo podemos escrever \vec{n}=(a,-a,c). Isso reduz o número de incógnitas para a e c.

Passo 4

Escrever a condição do ângulo 45^\circ. Primeiro calculemos os elementos da fórmula:
  • Produto escalar com \vec{n}_1=(1,-2,2): \vec{n}\cdot\vec{n}_1 = (a,-a,c)\cdot(1,-2,2)=a+2a+2c=3a+2c.
  • Norma de \vec{n}: \|\vec{n}\|=\sqrt{a^2+(-a)^2+c^2}=\sqrt{2a^2+c^2}.
  • Norma de \vec{n}_1: \|\vec{n}_1\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
A condição do cosseno com \theta=45^\circ é
\frac{|3a+2c|}{\sqrt{2a^2+c^2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Multiplicando e isolando, obtemos
|3a+2c|=\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{2a^2+c^2}.
Para eliminar o módulo e a raiz, elevamos ao quadrado (isso pode introduzir soluções spúrias relativas ao sinal, mas o módulo já cuida do sinal; ao final aceitaremos as direções de \vec{n} resultantes):
(3a+2c)^2=\frac{9}{2}(2a^2+c^2).

Passo 5

Desenvolver e simplificar a equação resultante:
  • Lado esquerdo: (3a+2c)^2=9a^2+12ac+4c^2.
  • Lado direito: \dfrac{9}{2}(2a^2+c^2)=9a^2+\dfrac{9}{2}c^2.
    Igualando:
9a^2+12ac+4c^2=9a^2+\frac{9}{2}c^2.
Subtraindo 9a^2 de ambos os lados:
12ac+4c^2=\frac{9}{2}c^2.
Passando termos para um lado:
12ac+4c^2-\frac{9}{2}c^2=0\quad\Rightarrow\quad 12ac+\left(4-\frac{9}{2}\right)c^2=0.
Calcular o coeficiente:
4-\frac{9}{2}=\frac{8-9}{2}=-\frac{1}{2},
portanto
12ac-\frac{1}{2}c^2=0.
Multiplicando por 2 para simplificar:
24ac-c^2=0\quad\Rightarrow\quad c(24a-c)=0.
Assim obtemos duas possibilidades: c=0 ou c=24a.

Passo 6

Resolver a primeira possibilidade c=0.
  • Se c=0 e lembrando b=-a, temos \vec{n}=(a,-a,0). Qualquer múltiplo é equivalente, então escolhemos a=1 para um representante simples: \vec{n}=(1,-1,0).
  • A equação do plano usando o ponto P_0=(1,2,3) é \vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0,ou seja (1,-1,0)\cdot(x-1,y-2,z-3)=0.
  • Desenvolvendo: 1\cdot(x-1)-1\cdot(y-2)+0\cdot(z-3)=0
x-1-y+2=0
x-y+1=0.
  • Verificação rápida (tranquila): qualquer ponto da reta r tem coordenadas (1+t,2+t,3). Substituindo em x-y+1 1+t-(2+t)+1=0, então a reta está realmente contida no plano.

Passo 7

Resolver a segunda possibilidade c=24a.
  • Tomando a=1 para simplificar (qualquer múltiplo dá o mesmo plano), obtemos \vec{n}=(1,-1,24).
  • Escrevendo a equação do plano com este normal e o ponto P_0=(1,2,3): (1,-1,24)\cdot(x-1,y-2,z-3)=0.
  • Desenvolvendo: 1\cdot(x-1)-1\cdot(y-2)+24\cdot(z-3)=0
x-1-y+2+24z-72=0
x-y+24z-71=0.
  • Verificação rápida: para um ponto da reta (1+t,2+t,3), x-y+24z-71=(1+t)-(2+t)+24\cdot 3-71 = -1 +72 -71 =0,então a reta também está contida neste plano.

Passo 8

Interpretação final e observação:
  • Obtivemos duas direções normais possíveis que satisfazem simultaneamente as duas condições (contém a reta e faz ângulo 45^\circ com o plano dado). Isso é esperado: geometricamente, através de uma reta passa uma família de planos; entre esses, normalmente aparecem duas que formam um mesmo ângulo agudo fixo com um plano dado (uma abertura para cada lado da reta).
  • As equações obtidas são as duas soluções distintas do problema.

Resposta

x-y+1=0
x-y+24z-71=0

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