Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R}. Dada uma transformação linear F: U \rightarrow V então
\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{ker}(F)+\operatorname{dim} \operatorname{Im}(F) .
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Espaços vetoriais U e V de dimensão finita sobre \mathbb{R}.
  • Transformação linear F:U\to V.
  • Afirmação a verificar: \displaystyle \dim V=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F).
O que se pede explicitamente: decidir se essa igualdade é verdadeira ou falsa, justificando.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significam \ker(F) e \operatorname{Im}(F):
  • \ker(F)=\{u\in U \mid F(u)=0\}. É um subespaço de U.
  • \operatorname{Im}(F)=\{v\in V \mid v=F(u)\\ \text{para algum }u\in U\}. É um subespaço de V.
Quando falamos de \dim de um subespaço, queremos o número de vetores de uma base desse subespaço (número finito, pois dimensões são finitas por hipótese).

Passo 3

Antes de aceitar a igualdade do enunciado, é importante saber qual é a relação correta e usual entre essas dimensões. A forma correta (teorema da dimensão ou teorema do posto-nulidade) é
\dim U=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F).
Note que aqui o lado esquerdo é \dim U, não \dim V. O enunciado coloca \dim V no lado esquerdo, por isso já devemos desconfiar — pode ser um erro.
Vou provar a relação correta e depois usar um exemplo simples para mostrar que a igualdade com \dim V (a do enunciado) nem sempre vale.

Passo 4

Prova do teorema correto \dim U=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F) (passo a passo, bem didático).
  1. Seja k=\dim\ker(F). Escolha uma base de \ker(F):
\{u_1,\dots,u_k\}.
  1. Como \ker(F) é subespaço de U e \dim U é finita, é possível estender essa base a uma base de U. Ou seja, existem vetores u_{k+1},\dots,u_n tais que
\{u_1,\dots,u_k,u_{k+1},\dots,u_n\}
é uma base de U. Aqui n=\dim U.
  1. Considere as imagens dos vetores adicionais:
F(u_{k+1}),\dots,F(u_n).
Vou mostrar que esses vetores formam uma base de \operatorname{Im}(F).
  • Geram \operatorname{Im}(F): seja v\in\operatorname{Im}(F). Então existe u\in U com F(u)=v. Como os u_i formam base de U, escrevemos
u=\sum_{i=1}^n a_i u_i.
Aplicando F,
v=F(u)=\sum_{i=1}^n a_i F(u_i).
Mas para i\le k temos F(u_i)=0 pois u_i\in\ker(F). Então
v=\sum_{i=k+1}^n a_i F(u_i).
Portanto v é combinação linear de F(u_{k+1}),\dots,F(u_n). Logo esses vetores geram \operatorname{Im}(F).
  • São linearmente independentes: suponha que existam escalares b_{k+1},\dots,b_n tais que
\sum_{i=k+1}^n b_i F(u_i)=0.
Isso equivale a
F\Big(\sum_{i=k+1}^n b_i u_i\Big)=0,
ou seja \sum_{i=k+1}^n b_i u_i\in\ker(F). Mas \{u_1,\dots,u_k\} é base de \ker(F), então o vetor \sum_{i=k+1}^n b_i u_i deve ser combinação linear desses u_1,\dots,u_k. Como a família total \{u_1,\dots,u_n\} é base (logo linearmente independente), a única forma disso ocorrer é que todos os b_i para i=k+1,\dots,n sejam zero. Assim os F(u_{k+1}),\dots,F(u_n) são linearmente independentes.
Portanto F(u_{k+1}),\dots,F(u_n) é uma base de \operatorname{Im}(F). Assim
\dim\operatorname{Im}(F)=n-k.
  1. Reescrevendo n=\dim U e k=\dim\ker(F), obtemos
\dim U=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F),
que é o teorema do posto-nulidade. Concluímos a prova da relação correta.

Passo 5

Agora relaciono isso com a igualdade do enunciado. O enunciado afirma
\dim V=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F).
Comparando com o teorema correto,
\dim U=\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F),
vemos que a igualdade do enunciado substituiria \dim U por \dim V. Essas duas quantidades ( \dim U e \dim V) são iguais somente em casos especiais (por exemplo quando \dim U=\dim V), mas em geral são distintas. Logo a afirmação do enunciado não é verdadeira em geral.

Passo 6

Para acabar de vez, um contraexemplo simples e claro (faça igual na prova se quiser refutar uma igualdade!):
Escolha U=\mathbb{R} e V=\mathbb{R}^2. Defina F: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 por
F(x)=(x,0).
  • \ker(F)=\{0\}. Logo \dim\ker(F)=0.
  • \operatorname{Im}(F)=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}, que é uma reta em \mathbb{R}^2. Logo \dim\operatorname{Im}(F)=1.
  • \dim V=\dim\mathbb{R}^2=2.
Agora calcule o lado direito da igualdade do enunciado:
\dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F)=0+1=1.
Mas \dim V=2. Então
\dim V \neq \dim\ker(F)+\dim\operatorname{Im}(F)
neste exemplo. Portanto a afirmação do enunciado é falsa em geral.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados