Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita sobre
. Dada uma transformação linear
então
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Espaços vetoriais
e de dimensão finita sobre . - Transformação linear
. - Afirmação a verificar:
.
O que se pede explicitamente: decidir se essa igualdade é verdadeira ou falsa, justificando.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) o que significam
e
:
-
. É um subespaço de . -
. É um subespaço de .
Quando falamos de
de um subespaço, queremos o número de vetores de uma base desse subespaço (número finito, pois dimensões são finitas por hipótese).
Passo 3
Antes de aceitar a igualdade do enunciado, é importante saber qual é a relação correta e usual entre essas dimensões. A forma correta (teorema da dimensão ou teorema do posto-nulidade) é
Note que aqui o lado esquerdo é
, não
. O enunciado coloca
no lado esquerdo, por isso já devemos desconfiar — pode ser um erro.
Vou provar a relação correta e depois usar um exemplo simples para mostrar que a igualdade com
(a do enunciado) nem sempre vale.
Passo 4
Prova do teorema correto
(passo a passo, bem didático).
- Seja
. Escolha uma base de :
- Como
é subespaço de e é finita, é possível estender essa base a uma base de . Ou seja, existem vetores tais que
é uma base de
. Aqui
.
- Considere as imagens dos vetores adicionais:
Vou mostrar que esses vetores formam uma base de
.
- Geram
: seja . Então existe com . Como os formam base de , escrevemos
Aplicando
,
Mas para
temos
pois
. Então
Portanto
é combinação linear de
. Logo esses vetores geram
.
- São linearmente independentes: suponha que existam escalares
tais que
Isso equivale a
ou seja
. Mas
é base de
, então o vetor
deve ser combinação linear desses
. Como a família total
é base (logo linearmente independente), a única forma disso ocorrer é que todos os
para
sejam zero. Assim os
são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
. Assim
- Reescrevendo
e , obtemos
que é o teorema do posto-nulidade. Concluímos a prova da relação correta.
Passo 5
Agora relaciono isso com a igualdade do enunciado. O enunciado afirma
Comparando com o teorema correto,
vemos que a igualdade do enunciado substituiria
por
. Essas duas quantidades (
e
) são iguais somente em casos especiais (por exemplo quando
), mas em geral são distintas. Logo a afirmação do enunciado não é verdadeira em geral.
Passo 6
Para acabar de vez, um contraexemplo simples e claro (faça igual na prova se quiser refutar uma igualdade!):
Escolha
e
. Defina
por
-
. Logo . -
, que é uma reta em . Logo . -
.
Agora calcule o lado direito da igualdade do enunciado:
Mas
. Então
neste exemplo. Portanto a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Resposta
Falso