Determine a dimensão da Imagem da transformação linear a seguir.
definida por
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
definida por
O que o problema pede: determinar a dimensão da imagem de
, ou seja calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- O espaço de partida é
. - O espaço de chegada é
. - A fórmula de
é .
Passo 2
Definição útil (explicando passo a passo): a imagem (ou alcance) de
é o conjunto
ou seja todos os valores em
que aparecem como saída de
. A dimensão da imagem é o número de vetores em uma base de
. Vou mostrar explicitamente qual é
e depois encontrar sua dimensão.
Passo 3
Caracterizar
. Peladefinição da transformação,
Aqui cada saída é um número real da forma
. Agora verifico se todo real
pode ser obtido como
para algum
.
Passo 4
Construção direta para ver que a imagem é todo
. Seja
arbitrário. Escolho, por exemplo,
,
e
. Então
Portanto para qualquer
existe um vetor em
que é levado em
. Conclusão:
Passo 5
Encontrar a dimensão de
. Como
(o espaço unidimensional usual), uma base é
. Verifico rapidamente:
-
gera porque todo é . -
é linearmente independente (o único escalar com é ).
Logo.
Passo 6
Comentário alternativo (modo de prova rápido): a transformação
é representada pela matriz linha
. Essa matriz tem posto
porque a linha não é a linha zero. O posto da matriz é justamente
. Assim novamente
.
Resposta
b.