Determine a dimensão da Imagem da transformação linear a seguir. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definida por T(x, y, z)=x+y
Escolha uma opção:
◯ a. \operatorname{dim}(\mathrm{lm})=0
◯ b. \operatorname{dim}(\mathrm{Im})=1
◯ c. \operatorname{dim}(1 m)=2
◯ d. \operatorname{dim}(\mathrm{lm})=3
◯ e. \operatorname{dim}(\operatorname{lm})=4

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y,z)=x+y.
O que o problema pede: determinar a dimensão da imagem de T, ou seja calcular \dim(\mathrm{Im}\,T).
Informações relevantes fornecidas:
  • O espaço de partida é \mathbb{R}^{3}.
  • O espaço de chegada é \mathbb{R}.
  • A fórmula de T é T(x,y,z)=x+y.

Passo 2

Definição útil (explicando passo a passo): a imagem (ou alcance) de T é o conjunto
\mathrm{Im}\,T=\{\,T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\,\},
ou seja todos os valores em \mathbb{R} que aparecem como saída de T. A dimensão da imagem é o número de vetores em uma base de \mathrm{Im}\,T. Vou mostrar explicitamente qual é \mathrm{Im}\,T e depois encontrar sua dimensão.

Passo 3

Caracterizar \mathrm{Im}\,T. Peladefinição da transformação,
\mathrm{Im}\,T=\{\,x+y \mid (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\,\}.
Aqui cada saída é um número real da forma x+y. Agora verifico se todo real t\in\mathbb{R} pode ser obtido como x+y para algum (x,y,z).

Passo 4

Construção direta para ver que a imagem é todo \mathbb{R}. Seja t\in\mathbb{R} arbitrário. Escolho, por exemplo, x=t, y=0 e z=0. Então
T(t,0,0)=t+0=t.
Portanto para qualquer t existe um vetor em \mathbb{R}^3 que é levado em t. Conclusão:
\mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}.

Passo 5

Encontrar a dimensão de \mathrm{Im}\,T. Como \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R} (o espaço unidimensional usual), uma base é \{1\}. Verifico rapidamente:
  • \{1\} gera \mathbb{R} porque todo t\in\mathbb{R} é t\cdot 1.
  • \{1\} é linearmente independente (o único escalar a com a\cdot 1=0 é a=0).
    Logo \dim(\mathrm{Im}\,T)=1.

Passo 6

Comentário alternativo (modo de prova rápido): a transformação T é representada pela matriz linha \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\end{pmatrix}. Essa matriz tem posto 1 porque a linha não é a linha zero. O posto da matriz é justamente \dim(\mathrm{Im}\,T). Assim novamente \dim(\mathrm{Im}\,T)=1.

Resposta

b. \dim(\mathrm{Im})=1

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