Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R}. Dada uma transformação linear F: U \rightarrow V então F\left(e_{U}\right)=e_{V}, onde e_{U} e e_{V} são os elementos neutros de U e V, respectivamente.
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • U e V são espaços vetoriais de dimensão finita sobre \mathbb{R}.
  • F:U\to V é uma transformação linear.
  • e_{U} é o elemento neutro (identidade aditiva) de U.
  • e_{V} é o elemento neutro (identidade aditiva) de V.
A pergunta é: a afirmação “ F\left(e_{U}\right)=e_{V}” é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “elemento neutro” em um espaço vetorial. O elemento neutro aditivo (também chamado de vetor zero) é um vetor 0 tal que, para todo vetor w do espaço,
w + 0 = w.
No enunciado usamos a notação e_{U} para o zero de U e e_{V} para o zero de V. Para facilitar a leitura, também podemos escrever 0_{U} e 0_{V} quando for útil.

Passo 3

Recordando a definição de transformação linear: F:U\to V é linear se, para todos u_1,u_2\in U e todo escalar a\in\mathbb{R},
F(u_1+u_2)=F(u_1)+F(u_2) \qquad\text{e}\qquad F(a\,u_1)=a\,F(u_1).
Essas duas propriedades são as que vamos usar para mostrar onde o zero de U é levado por F.

Passo 4

Prova via propriedade aditiva (primeiro método). Considere x=F(e_{U}). Usando a propriedade aditiva de F e o fato de que e_{U}+e_{U}=e_{U} (pois e_{U} é o neutro aditivo), temos
x = F(e_{U}) = F(e_{U}+e_{U}) = F(e_{U}) + F(e_{U}) = x + x.
Agora subtrai-se x dos dois lados (ou, formalmente, soma-se o inverso aditivo de x em ambos os lados). Como em qualquer espaço vetorial cada vetor tem inverso aditivo e a soma é cancelativa, obtemos
0_{V} = x.
Portanto F(e_{U})=0_{V}. Como o elemento neutro de V é e_{V}, concluímos F(e_{U})=e_{V}.

Passo 5

Prova via propriedade de multiplicação por escalar (segundo método, muito usado em provas). Em qualquer espaço vetorial vale 0_{U}=0\cdot u para todo u\in U, onde 0 do lado esquerdo é o vetor zero e o 0 do lado direito é o escalar zero. Tomando qualquer u\in U e usando linearidade em escalares,
F(0_{U}) = F(0\cdot u) = 0\cdot F(u) = 0_{V}.
Logo F(e_{U})=F(0_{U})=0_{V}=e_{V}.

Passo 6

Comentário didático rápido: ambas as provas são curtas e totalmente válidas. A primeira usa apenas additividade e cancelamento; a segunda usa a propriedade F(a u)=a F(u) com a=0. Em prova, escolha a que achar mais simples — a segunda é frequentemente a mais direta.

Passo 7

Conclusão: qualquer transformação linear leva o vetor zero do domínio ao vetor zero do contradomínio. Portanto a afirmativa do enunciado é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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