Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita sobre
. Dada uma transformação linear
então
, onde
e
são os elementos neutros de
e
, respectivamente.
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são espaços vetoriais de dimensão finita sobre . -
é uma transformação linear. -
é o elemento neutro (identidade aditiva) de . -
é o elemento neutro (identidade aditiva) de .
A pergunta é: a afirmação “
” é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “elemento neutro” em um espaço vetorial. O elemento neutro aditivo (também chamado de vetor zero) é um vetor
tal que, para todo vetor
do espaço,
No enunciado usamos a notação
para o zero de
e
para o zero de
. Para facilitar a leitura, também podemos escrever
e
quando for útil.
Passo 3
Recordando a definição de transformação linear:
é linear se, para todos
e todo escalar
,
Essas duas propriedades são as que vamos usar para mostrar onde o zero de
é levado por
.
Passo 4
Prova via propriedade aditiva (primeiro método). Considere
. Usando a propriedade aditiva de
e o fato de que
(pois
é o neutro aditivo), temos
Agora subtrai-se
dos dois lados (ou, formalmente, soma-se o inverso aditivo de
em ambos os lados). Como em qualquer espaço vetorial cada vetor tem inverso aditivo e a soma é cancelativa, obtemos
Portanto
. Como o elemento neutro de
é
, concluímos
.
Passo 5
Prova via propriedade de multiplicação por escalar (segundo método, muito usado em provas). Em qualquer espaço vetorial vale
para todo
, onde
do lado esquerdo é o vetor zero e o
do lado direito é o escalar zero. Tomando qualquer
e usando linearidade em escalares,
Logo
.
Passo 6
Comentário didático rápido: ambas as provas são curtas e totalmente válidas. A primeira usa apenas additividade e cancelamento; a segunda usa a propriedade
com
. Em prova, escolha a que achar mais simples — a segunda é frequentemente a mais direta.
Passo 7
Conclusão: qualquer transformação linear leva o vetor zero do domínio ao vetor zero do contradomínio. Portanto a afirmativa do enunciado é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro