Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
\int_{1.01}^{1.02}\left(x^{2}+3 x+1\right) d x
(a) 0.05
(b) 0.07
(c) 0.33
(d) 0.15

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para a integral definida
\int_{1,01}^{1,02}\left(x^{2}+3x+1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: a=1,01 e b=1,02.
  • Função integranda: f(x)=x^{2}+3x+1.
  • É uma questão de múltipla escolha com as alternativas:
    (a) 0,05
    (b) 0,07
    (c) 0,33
    (d) 0,15.

Passo 2

O método que vamos usar é calcular a integral exatamente usando a antiderivada (princípio do Cálculo Integral). Explicando a teoria de forma clara e prática:
  • A antiderivada (ou primitiva) de uma função f(x) é outra função F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui isso significa que basta achar F(x) e avaliar nos limites 1,02 e 1,01.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de f(x)=x^{2}+3x+1. Usa-se as regras básicas:
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
  • \displaystyle \int c\,x\,dx = c\int x\,dx, linearidade.
Aplicando termo a termo:
\int (x^{2}+3x+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + 3\int x\,dx + \int 1\,dx.
Calculando cada termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.
Portanto uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+x.

Passo 4

Agora avaliamos F em b=1,02. Primeiro calcular x^{2} e x^{3} para x=1,02:
1,02^{2}=1,0404,\qquad 1,02^{3}=1,061208.
Substituindo em F:
F(1,02)=\frac{1,061208}{3}+\frac{3\cdot 1,0404}{2}+1,02.
Calculemos termo a termo:
\frac{1,061208}{3}=0,353736,\qquad \frac{3\cdot 1,0404}{2}=1,5606.
Somando:
F(1,02)=0,353736+1,5606+1,02=2,934336.

Passo 5

Agora avaliamos F em a=1,01. Primeiro x^{2} e x^{3} para x=1,01:
1,01^{2}=1,0201,\qquad 1,01^{3}=1,030301.
Substituindo em F:
F(1,01)=\frac{1,030301}{3}+\frac{3\cdot 1,0201}{2}+1,01.
Calculemos termo a termo:
\frac{1,030301}{3}\approx 0,3434336667,\qquad \frac{3\cdot 1,0201}{2}=1,53015.
Somando:
F(1,01)\approx 0,3434336667+1,53015+1,01=2,8835836667.

Passo 6

A integral é a diferença F(1,02)-F(1,01). Então
\int_{1,01}^{1,02}(x^{2}+3x+1)\,dx = 2,934336-2,8835836667\approx 0,0507523333.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais, conforme as opções), isso é aproximadamente 0,05.

Passo 7

Rápida verificação por aproximação simples (intuição útil na prova): a largura do intervalo é b-a=1,02-1,01=0,01. O valor da função entre 1,01 e 1,02 está perto de f(1,01) ou f(1,02). Por exemplo, f(1,01)=1,01^{2}+3(1,01)+1\approx 1,0201+3,03+1=5,0501. Multiplicando pela largura 0,01 obtém-se 0,050501, bem perto do valor exato 0,05075. Isso confirma que a alternativa correta é a que contém 0,05.

Resposta

(a) 0,05

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