Q19 *
Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
(a) -0.03
(b) 0.03
(c) -0.04
(b) 0.03
(c) -0.04
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O enunciado pede uma aproximação para a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A integranda é
.
A pergunta implícita é: qual das alternativas aproximadas corresponde ao valor dessa integral?
Passo 2
Qual método usar? A integral de
é direta (tem antiderivada conhecida), e os limites estão próximos de
, o que permite usar identidades trigonométricas e uma aproximação por séries para obter um valor numérico aproximado. Vamos calcular exatamente em termos de cossenos e depois aproximar numericamente.
Passo 3
Antiderivada da função
. Lembrete (fórmula):
onde
é constante. Aqui, para a integral definida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Usar identidades trigonométricas para simplificar
e
.
- Para
: . Logo,
- Para
: . Logo,
Portanto a integral fica
Passo 5
Aproximação numérica das funções seno para ângulos pequenos. Explicação didática da série de Taylor (pequena aula):
Para pequeno (em radianos) vale a expansão de Taylor
Para
Na prática, para
ou
os termos de ordem
e superiores são desprezíveis (muito pequenos), então manteremos até o termo cúbico para garantir boa precisão. Isso significa:
Aqui
é o ângulo em radianos.
Passo 6
Calcular
e
com a aproximação até
.
Primeiro,
Primeiro,
Logo
Agora,
Logo
Passo 7
Somar as aproximações para obter a integral:
Esse valor arredondado é
. Note que o sinal é positivo (a soma de dois senos pequenos e positivos).
Passo 8
Comparar com as alternativas fornecidas:
(a) — tem sinal negativo, não corresponde.
(b) — corresponde ao valor aproximado que encontramos.
(c) — tem sinal negativo e magnitude diferente, não corresponde.
(a)
(b)
(c)
Resposta
(b)