Q19 *
Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
\int_{\pi / 2-0.02}^{\pi / 2+0.01} \sin (x) d x
(a) -0.03
(b) 0.03
(c) -0.04

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O enunciado pede uma aproximação para a integral definida
\int_{\pi/2-0,02}^{\pi/2+0,01} \sin(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de \pi/2-0,02 até \pi/2+0,01.
  • A integranda é \sin(x).
    A pergunta implícita é: qual das alternativas aproximadas corresponde ao valor dessa integral?

Passo 2

Qual método usar? A integral de \sin(x) é direta (tem antiderivada conhecida), e os limites estão próximos de \pi/2, o que permite usar identidades trigonométricas e uma aproximação por séries para obter um valor numérico aproximado. Vamos calcular exatamente em termos de cossenos e depois aproximar numericamente.

Passo 3

Antiderivada da função \sin(x). Lembrete (fórmula):
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C,
onde C é constante. Aqui, para a integral definida, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{a}^{b} = -\cos(b) + \cos(a) = \cos(a)-\cos(b).
No nosso caso, a=\pi/2-0,02 e b=\pi/2+0,01.

Passo 4

Usar identidades trigonométricas para simplificar \cos(a) e \cos(b).
  • Para a=\pi/2-0,02: \cos(\pi/2 - t)=\sin(t). Logo,
\cos\bigl(\pi/2-0,02\bigr)=\sin(0,02).
  • Para b=\pi/2+0,01: \cos(\pi/2 + t)=-\sin(t). Logo,
\cos\bigl(\pi/2+0,01\bigr)=-\sin(0,01).
Portanto a integral fica
\int_{\pi/2-0,02}^{\pi/2+0,01}\sin(x)\,dx = \sin(0,02)+\sin(0,01).

Passo 5

Aproximação numérica das funções seno para ângulos pequenos. Explicação didática da série de Taylor (pequena aula):
Para x pequeno (em radianos) vale a expansão de Taylor
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots.
Na prática, para x=0,01 ou 0,02 os termos de ordem x^{5} e superiores são desprezíveis (muito pequenos), então manteremos até o termo cúbico para garantir boa precisão. Isso significa:
\sin(x)\approx x-\frac{x^{3}}{6}.
Aqui x é o ângulo em radianos.

Passo 6

Calcular \sin(0,02) e \sin(0,01) com a aproximação até x^{3}.
Primeiro,
(0,02)^{3} = 8\cdot 10^{-6}, \qquad \frac{(0,02)^{3}}{6} = \frac{8\cdot 10^{-6}}{6} = 1{,}333333\cdot 10^{-6}.
Logo
\sin(0,02)\approx 0,02 - 1{,}333333\cdot 10^{-6} = 0,019998666667\\ (\text{aprox.}).
Agora,
(0,01)^{3} = 1\cdot 10^{-6}, \qquad \frac{(0,01)^{3}}{6} = 1{,}6666667\cdot 10^{-7}.
Logo
\sin(0,01)\approx 0,01 - 1{,}6666667\cdot 10^{-7} = 0,009999833333\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Somar as aproximações para obter a integral:
\sin(0,02)+\sin(0,01)\approx 0,019998666667 + 0,009999833333 = 0,0299985\\ (\text{aprox.}).
Esse valor arredondado é 0,03. Note que o sinal é positivo (a soma de dois senos pequenos e positivos).

Passo 8

Comparar com as alternativas fornecidas:
(a) -0,03 — tem sinal negativo, não corresponde.
(b) 0,03 — corresponde ao valor aproximado que encontramos.
(c) -0,04 — tem sinal negativo e magnitude diferente, não corresponde.

Resposta

(b) 0,03

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