Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
\int_{\pi-0.01}^{\pi+0.01} \sin \left(\frac{3.14 x^{2}}{20}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para a integral
\int_{\pi-0,01}^{\pi+0,01} \sin\!\left(\frac{3,14\,x^{2}}{20}\right)\,dx.
Informações importantes dadas:
  • Os limites de integração são simétricos em torno de \pi: a=\pi-0,01 e b=\pi+0,01.
  • A função a integrar é f(x)=\sin(\varphi(x)) com
\varphi(x)=\frac{3,14\,x^{2}}{20}.
  • O intervalo é pequeno (comprimento 0,02), então faz sentido aproximar a integranda por sua expansão de Taylor ao redor do ponto central x=\pi.

Passo 2

Escolha do método: como o intervalo é pequeno e centrado em x=\pi, vou usar a expansão de Taylor de f(x)=\sin(\varphi(x)) em torno de x=\pi e integrar termo a termo. Justificativa rápida e intuitiva: em intervalos curtos uma função suave pode ser bem aproximada pelos primeiros termos da Taylor; além disso, a simetria do intervalo eliminará os termos ímpares da expansão, simplificando bastante o cálculo (isto é prático para prova).

Passo 3

Calcular \varphi(x) e suas derivadas em x=\pi.
Defino
a=\frac{3,14}{20}=0,157, \qquad \varphi(x)=a x^{2}.
Então
\varphi' (x)=2a x, \qquad \varphi''(x)=2a.
Avalio em x=\pi:
\varphi(\pi)=a\pi^{2}, \qquad \varphi'(\pi)=2a\pi, \qquad \varphi''(\pi)=2a.
Agora números aproximados (usando \pi^{2}\approx 9,869604401 e \pi\approx 3,141592654):
\varphi(\pi)=0,157\cdot\pi^{2}\approx 0,157\cdot 9,8696\approx 1,54953,
\varphi'(\pi)=0,314\cdot\pi\approx 0,314\cdot 3,14159\approx 0,98696,
\varphi''(\pi)=0,314.

Passo 4

Expansão de Taylor de f(x)=\sin(\varphi(x)) em torno de x=\pi até segunda ordem.
Fórmulas de derivadas (cadeia):
f'(x)=\cos(\varphi(x))\,\varphi'(x),
f''(x)=-\sin(\varphi(x))\,[\varphi'(x)]^{2}+\cos(\varphi(x))\,\varphi''(x).
A expansão até 2.º grau é
f(x)\approx f(\pi)+f'(\pi)(x-\pi)+\frac{1}{2}f''(\pi)(x-\pi)^{2}.

Passo 5

Usar a simetria do intervalo [\pi-0,01,\;\pi+0,01]. Seja h=0,01. Ao integrar termo a termo:
  • O termo constante contribui com f(\pi)\cdot(2h).
  • O termo linear, que é ímpar em (x-\pi), integra para zero porque o intervalo é simétrico.
  • O termo quadrático contribui com \dfrac{1}{2}f''(\pi)\int_{-h}^{h}(x-\pi)^{2}dx.
Calcule a integral do quadrado:
\int_{-h}^{h}(x-\pi)^{2}dx=2\int_{0}^{h}t^{2}dt=2\cdot\frac{h^{3}}{3}=\frac{2h^{3}}{3}.
Portanto, aproximadamente
\int_{\pi-h}^{\pi+h} f(x)\,dx \approx f(\pi)\cdot(2h) + \frac{1}{2}f''(\pi)\cdot\frac{2h^{3}}{3} =2h\,f(\pi) + \frac{h^{3}}{3}\,f''(\pi).

Passo 6

Calcular f(\pi) e f''(\pi) numericamente.
Primeiro f(\pi)=\sin(\varphi(\pi))=\sin(1,54953). Observação útil: \dfrac{\pi}{2}\approx 1,570796, então 1,54953 está próximo de \dfrac{\pi}{2}. Definindo \delta=\dfrac{\pi}{2}-\varphi(\pi),
\delta\approx 1,570796-1,54953\approx 0,021266.
Como \sin(\varphi(\pi))=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\delta\right)=\cos(\delta), usamos \cos(\delta)\approx 1-\dfrac{\delta^{2}}{2} para pequeno \delta:
f(\pi)=\sin(\varphi(\pi))\approx \cos(0,021266)\approx 1-\frac{(0,021266)^{2}}{2}\approx 1-0,000226\!/2\approx 0,999887.
Para maior precisão numérica pode-se aceitar f(\pi)\approx 0,999887.
Agora f''(\pi):
f''(\pi)=-\sin(\varphi(\pi))\,[\varphi'(\pi)]^{2}+\cos(\varphi(\pi))\,\varphi''(\pi).
Usando os números:
[\varphi'(\pi)]^{2}\approx (0,98696)^{2}\approx 0,97406,
\cos(\varphi(\pi))\approx \sin(\delta)\approx \delta\approx 0,021266,
logo
f''(\pi)\approx -0,999887\cdot 0,97406 + 0,021266\cdot 0,314.
Calcule os termos:
-0,999887\cdot 0,97406\approx -0,97395, \qquad 0,021266\cdot 0,314\approx 0,00668.
Somando,
f''(\pi)\approx -0,97395 + 0,00668 \approx -0,96727.

Passo 7

Avaliar a fórmula aproximada da integral com h=0,01:
Termo principal:
2h\,f(\pi)=2\cdot 0,01\cdot 0,999887\approx 0,02\cdot 0,999887\approx 0,01999774.
Correção de segunda ordem:
\frac{h^{3}}{3}\,f''(\pi)=\frac{(0,01)^{3}}{3}\cdot(-0,96727) = \frac{1\cdot 10^{-6}}{3}\cdot(-0,96727)\approx -0,0000003224.
Somando termo principal e correção:
\int_{\pi-0,01}^{\pi+0,01} \sin\!\left(\frac{3,14 x^{2}}{20}\right)\,dx \approx 0,01999774 - 0,0000003224 \approx 0,01999742.
A correção é muito pequena (da ordem 10^{-7}), portanto a aproximação é robusta; arredondando a um número razoável de algarismos significativos, obtemos aproximadamente 0,0199974.

Passo 8

Comentário final e verificação rápida: como \sin(\varphi(x)) está muito próximo de 1 ao redor de x=\pi (por causa de \varphi(\pi) estar muito perto de \pi/2), a integral sobre um intervalo de comprimento 0,02 fica muito próxima de 0,02. O cálculo refinado acima dá 0,0199974, coerente com essa intuição.

Resposta

0,0199974

Exercícios relacionados