Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para a integral
Informações importantes dadas:
- Os limites de integração são simétricos em torno de
: e . - A função a integrar é
com
- O intervalo é pequeno (comprimento
), então faz sentido aproximar a integranda por sua expansão de Taylor ao redor do ponto central .
Passo 2
Escolha do método: como o intervalo é pequeno e centrado em
, vou usar a expansão de Taylor de
em torno de
e integrar termo a termo. Justificativa rápida e intuitiva: em intervalos curtos uma função suave pode ser bem aproximada pelos primeiros termos da Taylor; além disso, a simetria do intervalo eliminará os termos ímpares da expansão, simplificando bastante o cálculo (isto é prático para prova).
Passo 3
Calcular
e suas derivadas em
.
Defino
Então
Avalio em
:
Agora números aproximados (usando
e
):
Passo 4
Expansão de Taylor de
em torno de
até segunda ordem.
Fórmulas de derivadas (cadeia):
A expansão até 2.º grau é
Passo 5
Usar a simetria do intervalo
. Seja
. Ao integrar termo a termo:
- O termo constante contribui com
. - O termo linear, que é ímpar em
, integra para zero porque o intervalo é simétrico. - O termo quadrático contribui com
.
Calcule a integral do quadrado:
Portanto, aproximadamente
Passo 6
Calcular
e
numericamente.
Primeiro
. Observação útil:
, então
está próximo de
. Definindo
,
Como
, usamos
para pequeno
:
Para maior precisão numérica pode-se aceitar
.
Agora
:
Usando os números:
logo
Calcule os termos:
Somando,
Passo 7
Avaliar a fórmula aproximada da integral com
:
Termo principal:
Correção de segunda ordem:
Somando termo principal e correção:
A correção é muito pequena (da ordem
), portanto a aproximação é robusta; arredondando a um número razoável de algarismos significativos, obtemos aproximadamente
.
Passo 8
Comentário final e verificação rápida: como
está muito próximo de
ao redor de
(por causa de
estar muito perto de
), a integral sobre um intervalo de comprimento
fica muito próxima de
. O cálculo refinado acima dá
, coerente com essa intuição.