Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
\int_{\pi / 2-0.02}^{\pi / 2+0.01} \sin (x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede-se uma aproximação para a integral definida
\int_{\pi/2-0,02}^{\pi/2+0,01} \sin(x)\,dx.
  • Os limites de integração são próximos de \pi/2; a largura total do intervalo é
(\pi/2+0,01)-(\pi/2-0,02)=0,03.
  • Vamos obter a resposta exata em termos de cossenos (antiderivada de \sin) e em seguida aproximar os valores de cosseno perto de \pi/2 usando expansões para ângulos pequenos.

Passo 2

Antiderivada e fórmula de avaliação da integral.
  • Lembrando uma fórmula básica de cálculo: uma antiderivada de \sin(x) é -\cos(x), porque a derivada de -\cos(x) é \sin(x).
  • Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral entre os limites a e b é
\int_{a}^{b}\sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{a}^{b} = -\cos(b)+\cos(a)=\cos(a)-\cos(b).
  • Aqui definimos
a=\frac{\pi}{2}-0,02,\qquad b=\frac{\pi}{2}+0,01.
Portanto
\int_{\pi/2-0,02}^{\pi/2+0,01}\sin(x)\,dx = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0,02\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+0,01\bigr).

Passo 3

Usar identidades trigonométricas para escrever os cossenos em funções de senos pequenos.
  • Usar as fórmulas de deslocamento em torno de \pi/2:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-h\bigr)=\sin(h),\qquad \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr)=-\sin(h),
válidas para qualquer h. Aqui h será pequeno (0,02 ou 0,01).
  • Com isso:
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0,02\bigr)=\sin(0,02), \qquad \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+0,01\bigr)=-\sin(0,01).
  • Substituindo na expressão da integral:
\int_{\pi/2-0,02}^{\pi/2+0,01}\sin(x)\,dx = \sin(0,02)-\bigl(-\sin(0,01)\bigr)=\sin(0,02)+\sin(0,01).
Esse passo já é útil: transformamos o problema em somar dois senos de pequenos ângulos.

Passo 4

Aproximação de \sin(h) para pequenos h usando a série de Taylor (e controle de erro).
  • Para h pequeno (medido em radianos) vale a expansão de Taylor:
\sin(h)=h-\frac{h^{3}}{6}+\frac{h^{5}}{120}-\cdots.
  • Se usarmos apenas os dois primeiros termos h-\dfrac{h^{3}}{6}, o resto (erro) R tem tamanho no máximo
|R|\le \frac{|h|^{5}}{120}\quad\text{(ou, usando o termo cúbico como indicação, um erro de ordem }|h|^{3}/6\text{ para a aproximação linear).}úçãçã
  • Para sermos práticos e precisos, vamos usar a aproximação até o termo cúbico:
\sin(h)\approx h-\frac{h^{3}}{6},
e estimar o erro usando o termo negligenciado (o próximo termo tem magnitude \le \dfrac{|h|^{5}}{120}, muito pequeno aqui).

Passo 5

Calcular \sin(0,02) e \sin(0,01) com a aproximação e obter o valor da integral.
  • Para h=0,02:
(0,02)^{3}=8\times10^{-6}, \qquad \frac{(0,02)^{3}}{6}=\frac{8\times10^{-6}}{6}\approx 1{,}333\overline{3}\times10^{-6}.
Assim
\sin(0,02)\approx 0,02-1{,}333\overline{3}\times10^{-6}=0,0199986667\\ \text{(aprox.)}.
  • Para h=0,01:
(0,01)^{3}=1\times10^{-6}, \qquad \frac{(0,01)^{3}}{6}=\frac{1\times10^{-6}}{6}\approx 1{,}666\overline{6}\times10^{-7}.
Assim
\sin(0,01)\approx 0,01-1{,}666\overline{6}\times10^{-7}=0,0099998333\\ \text{(aprox.)}.
  • Somando:
\sin(0,02)+\sin(0,01)\approx 0,0199986667+0,0099998333=0,0299985.
Portanto uma aproximação para a integral é 0,0299985.

Passo 6

Estimativa do erro e conclusão sobre a qualidade da aproximação.
  • Estimativa rápida do erro (usando o termo \dfrac{h^{5}}{120} ou a magnitude do próximo termo): para h=0,02 o termo h^{5}/120 tem ordem (0,02)^{5}/120\sim 3{,}2\times10^{-11}, que é insignificante; o maior erro vem do truncamento na ordem cúbica (mas já usamos o cúbico), então a incerteza remanescente é do mesmo tamanho ou menor que cerca de 1{,}5\times10^{-6} somando os dois casos. Assim a aproximação 0,0299985 está correta ao redor de 10^{-6}.
  • Se quiser uma versão arredondada mais simples, pode-se dar 0,03 como aproximação com erro menor que 2\times10^{-6}.

Resposta

0,0299985

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