Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede-se uma aproximação para a integral definida
- Os limites de integração são próximos de
; a largura total do intervalo é
- Vamos obter a resposta exata em termos de cossenos (antiderivada de
) e em seguida aproximar os valores de cosseno perto de usando expansões para ângulos pequenos.
Passo 2
Antiderivada e fórmula de avaliação da integral.
- Lembrando uma fórmula básica de cálculo: uma antiderivada de
é , porque a derivada de é . - Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral entre os limites
e é
- Aqui definimos
Portanto
Passo 3
Usar identidades trigonométricas para escrever os cossenos em funções de senos pequenos.
- Usar as fórmulas de deslocamento em torno de
:
válidas para qualquer
. Aqui
será pequeno (0,02 ou 0,01).
- Com isso:
- Substituindo na expressão da integral:
Esse passo já é útil: transformamos o problema em somar dois senos de pequenos ângulos.
Passo 4
Aproximação de
para pequenos
usando a série de Taylor (e controle de erro).
- Para
pequeno (medido em radianos) vale a expansão de Taylor:
- Se usarmos apenas os dois primeiros termos
, o resto (erro) tem tamanho no máximo
- Para sermos práticos e precisos, vamos usar a aproximação até o termo cúbico:
e estimar o erro usando o termo negligenciado (o próximo termo tem magnitude
, muito pequeno aqui).
Passo 5
Calcular
e
com a aproximação e obter o valor da integral.
- Para
:
Assim
- Para
:
Assim
- Somando:
Portanto uma aproximação para a integral é
.
Passo 6
Estimativa do erro e conclusão sobre a qualidade da aproximação.
- Estimativa rápida do erro (usando o termo
ou a magnitude do próximo termo): para o termo tem ordem , que é insignificante; o maior erro vem do truncamento na ordem cúbica (mas já usamos o cúbico), então a incerteza remanescente é do mesmo tamanho ou menor que cerca de somando os dois casos. Assim a aproximação está correta ao redor de . - Se quiser uma versão arredondada mais simples, pode-se dar
como aproximação com erro menor que .