Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação para a integral definida
Informações importantes dadas:
- Os limites de integração são
e , ou seja, um intervalo simétrico de largura em torno de . - A função integranda é
, que é contínua em todo .
O objetivo é obter um valor aproximado para essa integral.
Passo 2
Usar o Teorema Fundamental do Cálculo: uma antiderivada de
é
. Então podemos escrever exatamente
Passo 3
Aplicar identidades trigonométricas para simplificar
. Para
qualquer vale
Aqui usei que
e
.
Passo 4
Substituindo com
na expressão do Passo 2 obtemos
Portanto a integral reduz-se exatamente a
.
Passo 5
Agora precisamos aproximar
. Para ângulos pequenos (em radianos) a aproximação de primeira ordem é
. Mais precisa é a expansão em série de Taylor centrada em
:
Aqui
. Calculemos os termos relevantes:
o termo seguinte
é da ordem de
, desprezível aqui. Então
Multiplicando por
:
Passo 6
Interpretando: a aproximação de primeira ordem (
) já dá
que difere do valor com correção cúbica apenas em cerca de
. Ou seja,
é uma excelente aproximação prática; o valor mais preciso é aproximadamente
.
Passo 7
Observação alternativa (útil na prova): fazendo a mudança
nota-se que
chegando à mesma expressão e às mesmas aproximações. Essa observação de simetria é uma maneira rápida de ver o resultado sem antiderivadas explícitas.