Assinale uma aproximação para a seguinte integral definida:
\int_{\pi-0.01}^{\pi+0.01} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação para a integral definida
\int_{\pi-0,01}^{\pi+0,01}\cos(x)\,dx.
Informações importantes dadas:
  • Os limites de integração são \pi-0,01 e \pi+0,01, ou seja, um intervalo simétrico de largura 0,02 em torno de \pi.
  • A função integranda é \cos(x), que é contínua em todo \mathbb{R}.
    O objetivo é obter um valor aproximado para essa integral.

Passo 2

Usar o Teorema Fundamental do Cálculo: uma antiderivada de \cos(x) é \sin(x). Então podemos escrever exatamente
\int_{\pi-0,01}^{\pi+0,01}\cos(x)\,dx=\sin\bigl(\pi+0,01\bigr)-\sin\bigl(\pi-0,01\bigr).

Passo 3

Aplicar identidades trigonométricas para simplificar \sin(\pi\pm h). Para h qualquer vale
\sin(\pi+h)=\sin\pi\cos h+\cos\pi\sin h=0\cdot\cos h+(-1)\sin h=-\sin h,
\sin(\pi-h)=\sin\pi\cos h-\cos\pi\sin h=0\cdot\cos h-(-1)\sin h=+\sin h.
Aqui usei que \sin\pi=0 e \cos\pi=-1.

Passo 4

Substituindo com h=0,01 na expressão do Passo 2 obtemos
\sin(\pi+0,01)-\sin(\pi-0,01)=-\sin(0,01)-\sin(0,01)=-2\sin(0,01).
Portanto a integral reduz-se exatamente a -2\sin(0,01).

Passo 5

Agora precisamos aproximar \sin(0,01). Para ângulos pequenos (em radianos) a aproximação de primeira ordem é \sin h\approx h. Mais precisa é a expansão em série de Taylor centrada em 0:
\sin h = h-\frac{h^{3}}{6}+\frac{h^{5}}{120}-\cdots.
Aqui h=0,01. Calculemos os termos relevantes:
h=0,01, \qquad \frac{h^{3}}{6}=\frac{(0,01)^{3}}{6}=\frac{1\times10^{-6}}{6}\approx0,0000001666667,
o termo seguinte \dfrac{h^{5}}{120} é da ordem de 10^{-12}, desprezível aqui. Então
\sin(0,01)\approx 0,01-0,0000001666667=0,0099998333333\\ (\text{aprox.}).
Multiplicando por -2:
-2\sin(0,01)\approx -2\times0,0099998333333=-0,0199996666667.

Passo 6

Interpretando: a aproximação de primeira ordem ( \sin h\approx h) já dá
-2\sin(0,01)\approx -2\times0,01=-0,02,
que difere do valor com correção cúbica apenas em cerca de 3{,}3\times10^{-7}. Ou seja, -0,02 é uma excelente aproximação prática; o valor mais preciso é aproximadamente -0,0199996667.

Passo 7

Observação alternativa (útil na prova): fazendo a mudança u=x-\pi nota-se que
\int_{\pi-0,01}^{\pi+0,01}\cos x\,dx=\int_{-0,01}^{0,01}\cos(\pi+u)\,du=\int_{-0,01}^{0,01}-\cos u\,du=-2\int_{0}^{0,01}\cos u\,du=-2\sin(0,01),
chegando à mesma expressão e às mesmas aproximações. Essa observação de simetria é uma maneira rápida de ver o resultado sem antiderivadas explícitas.

Resposta

-0,02

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