Assinale a função segunda derivada de s(x)=\cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right) :
(a) s^{\prime \prime}(x)=-\cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)\left(6 x \cos \left(x^{2}\right)-4 x^{3} \sin \left(x^{2}\right)\right)
(b) s^{\prime \prime}(x)=-\cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)\left(\sin \left(x^{2}\right)+2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)\right)^{2}-\sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)\left(6 x \cos \left(x^{2}\right)-4 x^{3} \sin \left(x^{2}\right)\right)
(c) s^{\prime \prime}(x)=-\sin \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)\left(\sin \left(x^{2}\right)+2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)\right)
(d) s^{\prime \prime}(x)=-\cos \left(x \sin \left(x^{2}\right)\right)\left(\sin \left(x^{2}\right)+2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função s(x)=\cos\!\big(x\sin(x^{2})\big) e oferece quatro alternativas (a)–(d). Então o que vamos fazer: calcular s'(x) e depois s''(x) passo a passo para comparar com as alternativas e escolher a correta. Informações dadas:
  • A função é s(x)=\cos\!\big(x\sin(x^{2})\big).
  • As alternativas apresentam expressões que envolvem \sin, \cos e potências de x.
    Nada mais é necessário do enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: aplicar a regra da cadeia para diferenciar s(x). Para organizar, defino a função interna
u(x)=x\sin(x^{2}).
Então s(x)=\cos\!\big(u(x)\big). A regra da cadeia diz: se s(x)=\cos(u(x)) então
s'(x) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui a ideia é: derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t), e depois multiplica-se pela derivada da parte interna u'(x).

Passo 3

Agora calculo u'(x). Como u(x)=x\sin(x^{2}) é produto de duas funções, uso a regra do produto: se u(x)=a(x)b(x) então u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x). Tomando a(x)=x e b(x)=\sin(x^{2}):
  • a'(x)=1.
  • Para b'(x) uso a regra da cadeia: b(x)=\sin(x^{2}) tem derivada b'(x)=\cos(x^{2})\cdot(2x).
    Aplicando o produto:
u'(x)=1\cdot\sin(x^{2}) + x\cdot\big(2x\cos(x^{2})\big).
Simplificando:
u'(x)=\sin(x^{2}) + 2x^{2}\cos(x^{2}).

Passo 4

Substituindo u'(x) em s'(x) obtemos a primeira derivada:
s'(x) = -\sin\!\big(x\sin(x^{2})\big)\,\big(\sin(x^{2}) + 2x^{2}\cos(x^{2})\big).
É útil chamar
v(x)=\sin(x^{2}) + 2x^{2}\cos(x^{2}),
pois u'(x)=v(x) e então s'(x)=-\sin\big(u(x)\big)\,v(x).

Passo 5

Agora diferenciamos s'(x) para obter s''(x). Temos um produto entre f(x)=-\sin\big(u(x)\big) e g(x)=v(x). A regra do produto dá:
s''(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Calculo f'(x) e g'(x) separadamente.

Passo 6

Cálculo de f'(x). Como f(x)=-\sin\big(u(x)\big), pela regra da cadeia:
f'(x) = -\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Mas já sabemos que u'(x)=v(x). Logo
f'(x) = -\cos\big(u(x)\big)\,v(x).

Passo 7

Cálculo de g'(x)=v'(x). Recordando v(x)=\sin(x^{2}) + 2x^{2}\cos(x^{2}), derivo termo a termo.
  1. Para \sin(x^{2}):
\big(\sin(x^{2})\big)' = \cos(x^{2})\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}).
  1. Para 2x^{2}\cos(x^{2}) aplico a regra do produto com a(x)=2x^{2} e b(x)=\cos(x^{2}):
  • a'(x)=4x.
  • b'(x)=-\sin(x^{2})\cdot 2x = -2x\sin(x^{2}).
    Logo
\big(2x^{2}\cos(x^{2})\big)' = 4x\cos(x^{2}) + 2x^{2}\big(-2x\sin(x^{2})\big).
Simplificando a segunda parcela:
2x^{2}\big(-2x\sin(x^{2})\big) = -4x^{3}\sin(x^{2}).
Somando com a derivada do primeiro termo:
v'(x) = 2x\cos(x^{2}) + 4x\cos(x^{2}) - 4x^{3}\sin(x^{2}).
Portanto
v'(x) = 6x\cos(x^{2}) - 4x^{3}\sin(x^{2}).

Passo 8

Agora retorno à fórmula do passo 5:
s''(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Substituindo f'(x)=-\cos\big(u(x)\big)\,v(x), g(x)=v(x) e f(x)=-\sin\big(u(x)\big) e g'(x)=v'(x), obtenho
s''(x) = -\cos\big(u(x)\big)\,v(x)\,v(x) \;+\; \big(-\sin\big(u(x)\big)\big)\,v'(x).
Isto é
s''(x) = -\cos\big(u(x)\big)\,v(x)^{2} \;-\; \sin\big(u(x)\big)\,v'(x).
Voltando às expressões originais de u(x), v(x) e v'(x):
u(x)=x\sin(x^{2}), \qquad v(x)=\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2}), \qquad v'(x)=6x\cos(x^{2})-4x^{3}\sin(x^{2}).
Portanto a segunda derivada final é
s''(x) = -\cos\!\big(x\sin(x^{2})\big)\big(\sin(x^{2})+2x^{2}\cos(x^{2})\big)^{2} - \sin\!\big(x\sin(x^{2})\big)\big(6x\cos(x^{2})-4x^{3}\sin(x^{2})\big).

Passo 9

Comparando com as alternativas dadas, a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (b). Força aí, você já tem o procedimento completo para derivar composições e produtos parecidos na prova!

Resposta

(b)

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