Assinale a função segunda derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a segunda derivada da função
e oferece quatro alternativas (a)–(d). Então o que vamos fazer: calcular
e depois
passo a passo para comparar com as alternativas e escolher a correta. Informações dadas:
- A função é
. - As alternativas apresentam expressões que envolvem
, e potências de .
Nada mais é necessário do enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: aplicar a regra da cadeia para diferenciar
. Para organizar, defino a função interna
Então
. A regra da cadeia diz: se
então
Aqui a ideia é: derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Agora calculo
. Como
é produto de duas funções, uso a regra do produto: se
então
. Tomando
e
:
-
. - Para
uso a regra da cadeia: tem derivada .
Aplicando o produto:
Simplificando:
Passo 4
Substituindo
em
obtemos a primeira derivada:
É útil chamar
pois
e então
.
Passo 5
Agora diferenciamos
para obter
. Temos um produto entre
e
. A regra do produto dá:
Calculo
e
separadamente.
Passo 6
Cálculo de
. Como
, pela regra da cadeia:
Mas já sabemos que
. Logo
Passo 7
Cálculo de
. Recordando
, derivo termo a termo.
- Para
:
- Para
aplico a regra do produto com e :
-
. -
.
Logo
Simplificando a segunda parcela:
Somando com a derivada do primeiro termo:
Portanto
Passo 8
Agora retorno à fórmula do passo 5:
Substituindo
,
e
e
, obtenho
Isto é
Voltando às expressões originais de
,
e
:
Portanto a segunda derivada final é
Passo 9
Comparando com as alternativas dadas, a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (b). Força aí, você já tem o procedimento completo para derivar composições e produtos parecidos na prova!
Resposta
(b)