Assinale os conjuntos que são subespaços de
.
Escolha uma ou mais:
□ a.
□ b.
□ c.
□ d.
□ e.
□ a.
□ b.
□ c.
□ d.
□ e.
Passo 1
O enunciado pede: assinale (pode ser uma ou mais) quais dos conjuntos dados são subespaços do espaço vetorial
.
Informações relevantes do enunciado:
O que nos foi dado: cinco conjuntos em
. O que nos pedem: indicar quais desses conjuntos são subespaços de
.
Passo 2
Definição e critério prático (aula rápida e prática): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz duas propriedades (ou equivalentemente três):
-
não está vazio (usualmente verificamos se ). -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Por que isso funciona? Porque um subespaço precisa herdar as operações de soma e multiplicação escalar de
. Se alguma dessas propriedades falha,
não é subespaço. Na prova, acelerar o teste: primeiro cheque se
. Se não estiver, já terminou — não é subespaço. Se estiver, mostre fechamento por soma e escalar (ou dê um contraexemplo).
Vamos aplicar isso a cada item, devagarinho e com exemplos.
Passo 3
Conjunto:
.
- Verificação do vetor zero:
tem primeira coordenada , e , logo . Então passa no teste inicial. - Teste de fechamento por soma: tome
e em . Então . A soma tem primeira coordenada , que é racional porque é fechado sob soma. Assim, a soma está em . Então soma ok. - Teste de fechamento por multiplicação escalar: preciso ver se para todo real
e todo temos . A primeira coordenada de é . Se escolher e irracional, em geral pode ser irracional (por exemplo, , dá ). Assim encontramos um contraexemplo:
Então
com
, logo
. Portanto
não é fechado por multiplicação escalar e, consequentemente, não é subespaço.
Conclusão para (a): não é subespaço.
Passo 4
Conjunto:
(o eixo
).
- Verificação do vetor zero:
está em porque . - Fechamento por soma: tome
. A soma é
e
, logo a soma permanece em
.
3. Fechamento por multiplicação escalar: para ,
3. Fechamento por multiplicação escalar: para
e
, logo
.
Como
contém
e é fechado por soma e escalares, é subespaço de
.
Intuição geométrica: é a reta que passa pela origem e é fechada por combinações lineares — típica subreta.
Passo 5
Conjunto:
(a reta
).
- Vetor zero:
corresponde a , logo está em . - Soma: para
e ,
que é da forma
com
. Logo soma fechada.
3. Multiplicação escalar: para ,
3. Multiplicação escalar: para
que também é da forma
com
. Logo fechado.
Portanto
é subespaço. Geometricamente é a reta através da origem com inclinação
.
Passo 6
Conjunto:
.
Checagem rápida pelo vetor zero:
tem
, então
. Isso já é suficiente para concluir que
não é subespaço (qualquer subespaço deve conter o vetor zero). Além disso, essa reta é paralela, mas deslocada da origem (intercepto igual a
), logo não passa pela origem.
Conclusão para (d): não é subespaço.
Passo 7
Conjunto:
.
Observação: esse conjunto é exatamente o conjunto de múltiplos escalares do vetor
, isto é,
ou seja, a reta em
gerada por
e que passa pela origem.
- Vetor zero: tomando
obtemos . - Fechamento por soma: se
e estão em , então
que é da forma
com
. Logo fechado.
3. Fechamento por escalares: para ,
3. Fechamento por escalares: para
que é da forma
com
. Logo fechado.
Portanto
é subespaço (é uma linha através da origem, gerada por
).
Passo 8
Resumo rápido do raciocínio (pra você decorar na hora da prova): primeiro cheque se
pertence ao conjunto; se não pertence, já responda “não subespaço”. Se pertence, prove fechamento por soma e por multiplicação por escalares (ou ache contraexemplo para algum desses). Para retas no plano, uma reta é subespaço exatamente quando passa pela origem (ou equivalentemente pode ser escrita como
para algum vetor
).
No nosso caso, os que passaram no teste foram as letras (b), (c) e (e); (a) e (d) falharam.
Resposta
b
c
e
c
e