Assinale os conjuntos que são subespaços de \mathbb{R}^{2}.
Escolha uma ou mais:
□ a. W=\{(x, y) \mid x \in \mathbb{Q}\}
□ b. W=\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}
□ c. W=\{(x, x) \mid x \in \mathbb{R}\}
□ d. W=\{(x, y) \mid x+y=1\}
□ e. W=\{(3 x, 2 x) \mid x \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede: assinale (pode ser uma ou mais) quais dos conjuntos dados são subespaços do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes do enunciado:
\begin{aligned} \text{(a)}\\ &W=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{Q}\}\\\ \text{(b)}\\ &W=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\\\ \text{\text{(c)}}\\ &W=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}\\\ \text{(d)}\\ &W=\{(x,y)\mid x+y=1\}\\\ \text{(e)}\\ &W=\{(3x,2x)\mid x\in\mathbb{R}\} \end{aligned}
O que nos foi dado: cinco conjuntos em \mathbb{R}^{2}. O que nos pedem: indicar quais desses conjuntos são subespaços de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição e critério prático (aula rápida e prática): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{2} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz duas propriedades (ou equivalentemente três):
  1. W não está vazio (usualmente verificamos se \mathbf{0}=(0,0)\in W).
  2. W é fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\mathbf{u}\in W.
Por que isso funciona? Porque um subespaço precisa herdar as operações de soma e multiplicação escalar de \mathbb{R}^{2}. Se alguma dessas propriedades falha, W não é subespaço. Na prova, acelerar o teste: primeiro cheque se (0,0)\in W. Se não estiver, já terminou — não é subespaço. Se estiver, mostre fechamento por soma e escalar (ou dê um contraexemplo).
Vamos aplicar isso a cada item, devagarinho e com exemplos.

Passo 3

Conjunto: W=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{Q}\}.
  1. Verificação do vetor zero: (0,0) tem primeira coordenada 0, e 0\in\mathbb{Q}, logo (0,0)\in W. Então passa no teste inicial.
  2. Teste de fechamento por soma: tome (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) em W. Então x_{1},x_{2}\in\mathbb{Q}. A soma tem primeira coordenada x_{1}+x_{2}, que é racional porque \mathbb{Q} é fechado sob soma. Assim, a soma está em W. Então soma ok.
  3. Teste de fechamento por multiplicação escalar: preciso ver se para todo real c e todo (x,y)\in W temos c(x,y)\in W. A primeira coordenada de c(x,y) é cx. Se escolher x\in\mathbb{Q} e c\in\mathbb{R} irracional, em geral cx pode ser irracional (por exemplo, x=1, c=\pi cx=\pi\notin\mathbb{Q}). Assim encontramos um contraexemplo:
\text{pegue }(1,0)\in W\text{ (pois }1\in\mathbb{Q}\text{) e }c=\pi.
Então
c(1,0)=(\pi,0),
com \pi\notin\mathbb{Q}, logo (\pi,0)\notin W. Portanto W não é fechado por multiplicação escalar e, consequentemente, não é subespaço.
Conclusão para (a): não é subespaço.

Passo 4

Conjunto: W=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} (o eixo x).
  1. Verificação do vetor zero: (0,0) está em W porque 0\in\mathbb{R}.
  2. Fechamento por soma: tome (x_{1},0),(x_{2},0)\in W. A soma é
(x_{1},0)+(x_{2},0)=(x_{1}+x_{2},0),
e x_{1}+x_{2}\in\mathbb{R}, logo a soma permanece em W.
3. Fechamento por multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
c(x,0)=(cx,0),
e cx\in\mathbb{R}, logo c(x,0)\in W.
Como W contém (0,0) e é fechado por soma e escalares, é subespaço de \mathbb{R}^{2}.
Intuição geométrica: é a reta que passa pela origem e é fechada por combinações lineares — típica subreta.

Passo 5

Conjunto: W=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} (a reta y=x).
  1. Vetor zero: (0,0) corresponde a x=0, logo está em W.
  2. Soma: para (x_{1},x_{1}) e (x_{2},x_{2}),
(x_{1},x_{1})+(x_{2},x_{2})=(x_{1}+x_{2},\,x_{1}+x_{2}),
que é da forma (x,x) com x=x_{1}+x_{2}\in\mathbb{R}. Logo soma fechada.
3. Multiplicação escalar: para c\in\mathbb{R},
c(x,x)=(cx,\,cx),
que também é da forma (x',x') com x'=cx\in\mathbb{R}. Logo fechado.
Portanto W é subespaço. Geometricamente é a reta através da origem com inclinação 1.

Passo 6

Conjunto: W=\{(x,y)\mid x+y=1\}.
Checagem rápida pelo vetor zero: (0,0) tem 0+0=0\neq1, então (0,0)\notin W. Isso já é suficiente para concluir que W não é subespaço (qualquer subespaço deve conter o vetor zero). Além disso, essa reta é paralela, mas deslocada da origem (intercepto igual a 1), logo não passa pela origem.
Conclusão para (d): não é subespaço.

Passo 7

Conjunto: W=\{(3x,2x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Observação: esse conjunto é exatamente o conjunto de múltiplos escalares do vetor (3,2), isto é,
W=\{x(3,2)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(3,2)\},
ou seja, a reta em \mathbb{R}^{2} gerada por (3,2) e que passa pela origem.
  1. Vetor zero: tomando x=0 obtemos (0,0)\in W.
  2. Fechamento por soma: se (3x_{1},2x_{1}) e (3x_{2},2x_{2}) estão em W, então
(3x_{1},2x_{1})+(3x_{2},2x_{2})=(3(x_{1}+x_{2}),\,2(x_{1}+x_{2})),
que é da forma (3x,2x) com x=x_{1}+x_{2}\in\mathbb{R}. Logo fechado.
3. Fechamento por escalares: para c\in\mathbb{R},
c(3x,2x)=(3(cx),2(cx)),
que é da forma (3x',2x') com x'=cx\in\mathbb{R}. Logo fechado.
Portanto W é subespaço (é uma linha através da origem, gerada por (3,2)).

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio (pra você decorar na hora da prova): primeiro cheque se (0,0) pertence ao conjunto; se não pertence, já responda “não subespaço”. Se pertence, prove fechamento por soma e por multiplicação por escalares (ou ache contraexemplo para algum desses). Para retas no plano, uma reta é subespaço exatamente quando passa pela origem (ou equivalentemente pode ser escrita como \{t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\} para algum vetor \mathbf{v}).
No nosso caso, os que passaram no teste foram as letras (b), (c) e (e); (a) e (d) falharam.

Resposta

b
c
e

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