Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre
?
com as operações:
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se o conjunto
com as operações dados é um espaço vetorial sobre
. As operações fornecidas são:
O que precisamos responder: “essas operações fazem de
um espaço vetorial sobre
?”. As informações relevantes são exatamente as fórmulas acima e o fato de o conjunto subjacente ser
.
Passo 2
Estratégia de resolução (curtinha e prática): vamos verificar diretamente os axiomas de espaço vetorial. Para que
seja espaço vetorial sobre
é preciso que as operações satisfaçam um conjunto de propriedades (fechamento, comutatividade, associatividade da adição; existência de elemento neutro e inversos aditivos; propriedades da multiplicação por escalar: associatividade, elementos neutros e as duas distributividades). Vou checar cada uma delas e mostrar cálculos explícitos. Assim, na prova você pode fazer a mesma coisa: listar axiomas e testar.
Passo 3
Fechamento das operações (primeira verificação simples).
- Adição: se
, então tem componentes reais, logo pertence a . Portanto a adição está fechada. - Multiplicação por escalar: se
e , então tem componentes reais, logo está em . Portanto a multiplicação por escalar está fechada.
Passo 4
Comutatividade da adição.
Queremos mostrar que .
Calculemos ambas:
Queremos mostrar que
Calculemos ambas:
Como a adição real é comutativa,
e
, então as duas expressões coincidem. Logo a adição é comutativa.
Passo 5
Associatividade da adição.
Precisamos mostrar que .
Calcule o lado esquerdo:
Precisamos mostrar que
Calcule o lado esquerdo:
Somando com
obtemos
O lado direito:
e somando com
dá
Os dois lados são iguais, logo a adição é associativa.
Passo 6
Existência do elemento neutro (vetor zero).
Procuramos tal que, para todo
,
Procuramos
Pela definição da adição isso significa
Comparando componentes obtemos
e
. Assim
e
. Portanto o candidato é
Verificação rápida: com a fórmula da adição,
portanto
é realmente o elemento neutro para a adição.
Passo 7
Existência do inverso aditivo para cada vetor.
Dado , buscamos
tal que
Dado
porque
. Pela definição da adição:
Comparando componentes:
e
. Daí
e
. Logo o inverso aditivo de
é
Verifique rápido:
. Assim todo vetor tem inverso aditivo.
Passo 8
Propriedade do escalar
(identidade escalar).
Temos que verificar . Usando a definição da multiplicação por escalar:
Temos que verificar
Logo
age como escalar identidade, como requerido.
Passo 9
Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade escalar).
Queremos mostrar .
Calcule o lado esquerdo: primeiro . Agora aplicar
:
Queremos mostrar
Calcule o lado esquerdo: primeiro
Simplificando o primeiro componente:
O segundo componente simplifica de modo análogo para
. Portanto o resultado é
que é exatamente
. Assim a associatividade escalar vale.
Passo 10
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores.
Queremos .
Calcule o lado esquerdo: . Aplicando
:
Queremos
Calcule o lado esquerdo:
Simplificando o primeiro componente:
Agora o lado direito:
e similar para
. Somando (usando a definição de adição que subtrai 1):
As duas expressões coincidem componente a componente. Logo a distributividade escalar sobre soma de vetores vale.
Passo 11
Distributividade da soma de escalares sobre um vetor.
Queremos .
Calcule o lado esquerdo:
Queremos
Calcule o lado esquerdo:
Que é
O lado direito:
e
. Somando:
As duas expressões coincidem, então esta distributividade também é satisfeita.
Passo 12
Revisão rápida e conclusão das verificações.
Verificámos:
Verificámos:
- fechamento das operações;
- comutatividade e associatividade da adição;
- existência de elemento neutro
; - existência de inversos aditivos
; - propriedades relativas à multiplicação por escalar:
, , e as duas distributividades.
Todas as propriedades axiomáticas de espaço vetorial sobre
foram verificadas explicitamente. Uma observação intuitiva (que ajuda a entender o porquê): essas operações são apenas uma “translação” do espaço usual
. Se definirmos a aplicação linear-afińa
, então a estrutura dada corresponde a transportar a estrutura usual de
através de
. Isso explica por que os axiomas continuam válidos.
Resposta
Sim:
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
. O elemento neutro é
e o inverso de
é
.