Dentre os conjuntos a seguir e suas operações quais são espaços vetoriais sobre mathbb{R} ?
\boldsymbol{V}=\mathbf{R}^{2}
com as operações:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-1, y_{1}+y_{2}-1\right)
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha x-\alpha+1, \alpha y-\alpha+1)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o conjunto \mathbf{V}=\mathbb{R}^{2} com as operações dados é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. As operações fornecidas são:
\text{adição: }(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1)çã
\text{multiplicação por escalar: }\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x-\alpha+1,\;\alpha y-\alpha+1)çã
O que precisamos responder: “essas operações fazem de \mathbf{V} um espaço vetorial sobre \mathbb{R}?”. As informações relevantes são exatamente as fórmulas acima e o fato de o conjunto subjacente ser \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Estratégia de resolução (curtinha e prática): vamos verificar diretamente os axiomas de espaço vetorial. Para que \mathbf{V} seja espaço vetorial sobre \mathbb{R} é preciso que as operações satisfaçam um conjunto de propriedades (fechamento, comutatividade, associatividade da adição; existência de elemento neutro e inversos aditivos; propriedades da multiplicação por escalar: associatividade, elementos neutros e as duas distributividades). Vou checar cada uma delas e mostrar cálculos explícitos. Assim, na prova você pode fazer a mesma coisa: listar axiomas e testar.

Passo 3

Fechamento das operações (primeira verificação simples).
  • Adição: se (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}, então (x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1) tem componentes reais, logo pertence a \mathbb{R}^{2}. Portanto a adição está fechada.
  • Multiplicação por escalar: se \alpha\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então (\alpha x-\alpha+1,\;\alpha y-\alpha+1) tem componentes reais, logo está em \mathbb{R}^{2}. Portanto a multiplicação por escalar está fechada.

Passo 4

Comutatividade da adição.
Queremos mostrar que (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{2},y_{2})+(x_{1},y_{1}).
Calculemos ambas:
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1).
(x_{2},y_{2})+(x_{1},y_{1})=(x_{2}+x_{1}-1,\;y_{2}+y_{1}-1).
Como a adição real é comutativa, x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1} e y_{1}+y_{2}=y_{2}+y_{1}, então as duas expressões coincidem. Logo a adição é comutativa.

Passo 5

Associatividade da adição.
Precisamos mostrar que \bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr)+(x_{3},y_{3})=(x_{1},y_{1})+\bigl((x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})\bigr).
Calcule o lado esquerdo:
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1).
Somando com (x_{3},y_{3}) obtemos
((x_{1}+x_{2}-1)+x_{3}-1,\;(y_{1}+y_{2}-1)+y_{3}-1)=(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2,\;y_{1}+y_{2}+y_{3}-2).
O lado direito:
(x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})=(x_{2}+x_{3}-1,\;y_{2}+y_{3}-1),
e somando com (x_{1},y_{1})
(x_{1}+(x_{2}+x_{3}-1)-1,\;y_{1}+(y_{2}+y_{3}-1)-1)=(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2,\;y_{1}+y_{2}+y_{3}-2).
Os dois lados são iguais, logo a adição é associativa.

Passo 6

Existência do elemento neutro (vetor zero).
Procuramos 0_{\mathbf{V}}=(x_{0},y_{0}) tal que, para todo (x,y),
(x,y)+(x_{0},y_{0})=(x,y).
Pela definição da adição isso significa
(x+x_{0}-1,\;y+y_{0}-1)=(x,y).
Comparando componentes obtemos x_{0}-1=0 e y_{0}-1=0. Assim x_{0}=1 e y_{0}=1. Portanto o candidato é
0_{\mathbf{V}}=(1,1).
Verificação rápida: com a fórmula da adição,
(x,y)+(1,1)=(x+1-1,\;y+1-1)=(x,y),
portanto (1,1) é realmente o elemento neutro para a adição.

Passo 7

Existência do inverso aditivo para cada vetor.
Dado (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, buscamos (u,v) tal que
(x,y)+(u,v)=(1,1)
porque 0_{\mathbf{V}}=(1,1). Pela definição da adição:
(x+u-1,\;y+v-1)=(1,1).
Comparando componentes: x+u-1=1 e y+v-1=1. Daí u=2-x e v=2-y. Logo o inverso aditivo de (x,y) é
-(x,y)=(2-x,\;2-y).
Verifique rápido: (x,y)+(2-x,2-y)=(x+2-x-1,\;y+2-y-1)=(1,1). Assim todo vetor tem inverso aditivo.

Passo 8

Propriedade do escalar 1 (identidade escalar).
Temos que verificar 1\cdot(x,y)=(x,y). Usando a definição da multiplicação por escalar:
1\cdot(x,y)=(1\cdot x-1+1,\;1\cdot y-1+1)=(x,\;y).
Logo 1 age como escalar identidade, como requerido.

Passo 9

Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade escalar).
Queremos mostrar \alpha\cdot(\beta\cdot(x,y))=(\alpha\beta)\cdot(x,y).
Calcule o lado esquerdo: primeiro \beta\cdot(x,y)=(\beta x-\beta+1,\;\beta y-\beta+1). Agora aplicar \alpha:
\alpha\cdot(\beta x-\beta+1,\;\beta y-\beta+1)=(\alpha(\beta x-\beta+1)-\alpha+1,\;\alpha(\beta y-\beta+1)-\alpha+1).
Simplificando o primeiro componente:
\alpha\beta x-\alpha\beta+\alpha-\alpha+1=\alpha\beta x-\alpha\beta+1.
O segundo componente simplifica de modo análogo para \alpha\beta y-\alpha\beta+1. Portanto o resultado é
(\alpha\beta x-\alpha\beta+1,\;\alpha\beta y-\alpha\beta+1),
que é exatamente (\alpha\beta)\cdot(x,y). Assim a associatividade escalar vale.

Passo 10

Distributividade do escalar sobre a soma de vetores.
Queremos \alpha\cdot\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr)=\alpha\cdot(x_{1},y_{1})+\alpha\cdot(x_{2},y_{2}).
Calcule o lado esquerdo: (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1). Aplicando \alpha:
\alpha\cdot(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}-1)=(\alpha(x_{1}+x_{2}-1)-\alpha+1,\;\alpha(y_{1}+y_{2}-1)-\alpha+1).
Simplificando o primeiro componente:
\alpha x_{1}+\alpha x_{2}-\alpha-\alpha+1=\alpha x_{1}+\alpha x_{2}-2\alpha+1.
Agora o lado direito: \alpha\cdot(x_{1},y_{1})=(\alpha x_{1}-\alpha+1,\;\alpha y_{1}-\alpha+1) e similar para \alpha\cdot(x_{2},y_{2}). Somando (usando a definição de adição que subtrai 1):
(\alpha x_{1}-\alpha+1+\alpha x_{2}-\alpha+1-1,\;\ldots)=(\alpha x_{1}+\alpha x_{2}-2\alpha+1,\;\ldots).
As duas expressões coincidem componente a componente. Logo a distributividade escalar sobre soma de vetores vale.

Passo 11

Distributividade da soma de escalares sobre um vetor.
Queremos (\alpha+\beta)\cdot(x,y)=\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y).
Calcule o lado esquerdo:
(\alpha+\beta)\cdot(x,y)=((\alpha+\beta)x-(\alpha+\beta)+1,\;(\alpha+\beta)y-(\alpha+\beta)+1).
Que é
(\alpha x+\beta x-\alpha-\beta+1,\;\alpha y+\beta y-\alpha-\beta+1).
O lado direito: \alpha\cdot(x,y)=(\alpha x-\alpha+1,\;\alpha y-\alpha+1) e \beta\cdot(x,y)=(\beta x-\beta+1,\;\beta y-\beta+1). Somando:
(\alpha x-\alpha+1+\beta x-\beta+1-1,\;\ldots)=(\alpha x+\beta x-\alpha-\beta+1,\;\ldots).
As duas expressões coincidem, então esta distributividade também é satisfeita.

Passo 12

Revisão rápida e conclusão das verificações.
Verificámos:
  • fechamento das operações;
  • comutatividade e associatividade da adição;
  • existência de elemento neutro 0_{\mathbf{V}}=(1,1);
  • existência de inversos aditivos -(x,y)=(2-x,2-y);
  • propriedades relativas à multiplicação por escalar: 1\cdot v=v, \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v, e as duas distributividades.
Todas as propriedades axiomáticas de espaço vetorial sobre \mathbb{R} foram verificadas explicitamente. Uma observação intuitiva (que ajuda a entender o porquê): essas operações são apenas uma “translação” do espaço usual \mathbb{R}^{2}. Se definirmos a aplicação linear-afińa T(x,y)=(x-1,y-1), então a estrutura dada corresponde a transportar a estrutura usual de \mathbb{R}^{2} através de T. Isso explica por que os axiomas continuam válidos.

Resposta

Sim: \mathbf{V}=\mathbb{R}^{2} com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. O elemento neutro é (1,1) e o inverso de (x,y) é (2-x,2-y).

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