Seja o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2}, com as operações
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}-2\right) \\\ \alpha \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y-2 \alpha+2) \end{gathered}
Dessa forma, temos que o elemento neutro, e, e o elemento oposto, -u, são dados por:
Escolha uma opção:
◯ a. elemento neutro: e=(0,0)
elemento oposto, -u=(-x,-y)
◯ b. elemento neutro: e=(2,-3)
elemento oposto, -u=(4-x,-6-y)
◯ c. elemento neutro: e=(2,0)
elemento oposto, -\boldsymbol{u}=(4-\boldsymbol{x},-y)
◯ d. elemento neutro: e=(0,2)
elemento oposto, -u=(-x, 4-y)
◯ e. elemento neutro: e=(1,-2)
elemento oposto, -u=(2-x,-4-y)

Passo 1

O enunciado dá o espaço V=\mathbb{R}^2 com as operações
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}-2)
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x,\,\alpha y-2\alpha+2)
Pede-se determinar o elemento neutro e (o vetor que não altera outro pela soma) e, para um vetor genérico u=(x,y), o elemento oposto -u (o vetor que somado a u dá o neutro).

Passo 2

Lembrete didático: por definição, o elemento neutro e=(e_{1},e_{2}) deve obedecer, para todo (x,y)\in V,
(x,y)+ (e_{1},e_{2})=(x,y).
Isto significa que, quando aplicamos a operação de soma dada, as duas componentes resultantes devem coincidir com as componentes de (x,y). Vou aplicar essa equação e comparar componente a componente.

Passo 3

Aplicando a soma:
(x,y)+(e_{1},e_{2})=(x+e_{1},\,y+e_{2}-2).
Queremos isto igual a (x,y). Então igualamos componentes:
x+e_{1}=x \quad\Rightarrow\quad e_{1}=0,
y+e_{2}-2=y \quad\Rightarrow\quad e_{2}-2=0 \quad\Rightarrow\quad e_{2}=2.
Portanto o elemento neutro é \,e=(0,2).

Passo 4

Verificação rápida (importante em prova): calcular (e)+(x,y) para ver se também dá (x,y):
(0,2)+(x,y)=(0+x,\,2+y-2)=(x,y),
então e funciona à direita e à esquerda — perfeito.

Passo 5

Agora o oposto: para u=(x,y) procuramos -u=(a,b) tal que
(x,y)+(a,b)=e=(0,2).
Aplicando a soma:
(x+a,\,y+b-2)=(0,2).
Igualando componentes:
x+a=0 \quad\Rightarrow\quad a=-x,
y+b-2=2 \quad\Rightarrow\quad b=4-y.
Logo o oposto é -u = (-x,\,4-y).

Resposta

d. elemento neutro: e=(0,2)
elemento oposto: -u=(-x,4-y)

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