Assinale os conjuntos que são subespaços de
.
Escolha uma ou mais:
□ a.
□ b.
□ C.
□ d.
□ e.
□ a.
□ b.
□ C.
□ d.
□ e.
Passo 1
O enunciado pede: assinalar quais dos conjuntos dados são subespaços de
. As opções fornecidas são:
Informações relevantes dadas: cada item descreve um subconjunto de
por uma condição sobre as coordenadas. A tarefa é testar, para cada conjunto, se ele satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.
Passo 2
Definição e critério prático de subespaço (a “aula rápida”):
Um subconjunto de
é subespaço vetorial se, e somente se, ele satisfaz três propriedades:
Um subconjunto
- Contém o vetor nulo:
. - Fechado sob soma: para quaisquer
, tem-se . - Fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer
e qualquer , tem-se .
Explicação das variáveis:
e
são vetores de
(ou seja, tripletas
);
é um número real (escalar). Na prática, para verificar um conjunto como subespaço basta checar se
e verificar fechamento em duas operações (às vezes uma única violação já basta para descartar). Outra forma útil é mostrar que
é o span (espaço gerado) de um conjunto de vetores; todo span é subespaço.
Passo 3
Analisando a opção
:
.
Observe que qualquer vetor em
tem a forma
Isto significa que
, ou seja, todos os múltiplos escalares do vetor
. Verificações:
- Vetor zero: tomando
obtemos . - Fechamento por soma: se
e então . - Fechamento por escalar: para
, .
Comoé um span, todas as propriedades valem automaticamente. Conclusão: a opção é subespaço de .
Passo 4
Analisando a opção
:
.
Primeiro teste simples: verificar se o vetor zero pertence a
. Substituindo
na equação obtemos
logo
. Pelo critério 1) um subespaço deve conter o vetor zero; portanto
não pode ser subespaço. Conclusão: a opção
não é subespaço.
Passo 5
Analisando a opção
:
.
Observação de álgebra elementar: para números reais,
,
,
. A soma de três quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero, isto é,
,
e
. Portanto o conjunto definido é
O conjunto
é chamado subespaço trivial e satisfaz todas as propriedades: contém o zero, soma de zeros é zero, múltiplo escalar de zero é zero. Logo
é subespaço. Conclusão: a opção
é subespaço (o subespaço trivial).
Passo 6
Analisando a opção
:
.
Verificamos se
é fechado sob multiplicação por escalar. Tome um vetor em
, por exemplo
(aqui
, então
). Agora escolha um escalar
. O produto escalar é
A primeira coordenada
não pertence a
, então
. Assim
não é fechado por multiplicação por escalares reais e, portanto, não é subespaço. Conclusão: a opção
não é subespaço.
Passo 7
Analisando a opção
:
.
Note que qualquer vetor nessa forma pode ser escrito como
com
. Como
percorre todos os reais,
também percorre todos os reais (basta tomar
). Portanto
isto é, a reta
-axis em
. Verificações:
- Contém
(tomando ). - Fechado por soma e por multiplicação por escalar porque é um span de um vetor. Assim
é subespaço. Conclusão: a opção é subespaço.
Resposta
a, c, e