Assinale os conjuntos que são subespaços de \mathbb{R}^{3}.
Escolha uma ou mais:
□ a. W=\{(x, y, z) \mid x \in \mathbb{R}, y=2 x, z=x\}
□ b. W=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1\}
□ C. W=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}
□ d. W=\{(x, y, z) \mid x \in \mathbb{Q}\}
□ e. W=\{(3 x, 0,0) \mid x \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede: assinalar quais dos conjuntos dados são subespaços de \mathbb{R}^{3}. As opções fornecidas são:
a.\ W=\{(x,y,z)\mid x\in\mathbb{R},\; y=2x,\; z=x\}
b.\ W=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}
c.\ W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\}
d.\ W=\{(x,y,z)\mid x\in\mathbb{Q}\}
e.\ W=\{(3x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
Informações relevantes dadas: cada item descreve um subconjunto de \mathbb{R}^{3} por uma condição sobre as coordenadas. A tarefa é testar, para cada conjunto, se ele satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço.

Passo 2

Definição e critério prático de subespaço (a “aula rápida”):
Um subconjunto W de \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se, e somente se, ele satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor nulo: \mathbf{0}=(0,0,0)\in W.
  2. Fechado sob soma: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem-se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer c\in\mathbb{R} e qualquer \mathbf{u}\in W, tem-se c\mathbf{u}\in W.
Explicação das variáveis: \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores de \mathbb{R}^{3} (ou seja, tripletas (x,y,z)); c é um número real (escalar). Na prática, para verificar um conjunto como subespaço basta checar se \mathbf{0}\in W e verificar fechamento em duas operações (às vezes uma única violação já basta para descartar). Outra forma útil é mostrar que W é o span (espaço gerado) de um conjunto de vetores; todo span é subespaço.

Passo 3

Analisando a opção a: W=\{(x,y,z)\mid y=2x,\\ z=x\}.
Observe que qualquer vetor em W tem a forma
(x,y,z)=(x,2x,x)=x\,(1,2,1).
Isto significa que W=\operatorname{span}\{(1,2,1)\}, ou seja, todos os múltiplos escalares do vetor (1,2,1). Verificações:
  • Vetor zero: tomando x=0 obtemos (0,0,0)\in W.
  • Fechamento por soma: se \mathbf{u}=x(1,2,1) e \mathbf{v}=y(1,2,1) então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x+y)(1,2,1)\in W.
  • Fechamento por escalar: para c\in\mathbb{R}, c\mathbf{u}=c\,x(1,2,1)\in W.
    Como W é um span, todas as propriedades valem automaticamente. Conclusão: a opção a é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Analisando a opção b: W=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}.
Primeiro teste simples: verificar se o vetor zero pertence a W. Substituindo (0,0,0) na equação obtemos
0+0+0=0\neq 1,
logo (0,0,0)\notin W. Pelo critério 1) um subespaço deve conter o vetor zero; portanto W não pode ser subespaço. Conclusão: a opção b não é subespaço.

Passo 5

Analisando a opção c: W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\}.
Observação de álgebra elementar: para números reais, x^{2}\ge 0, y^{2}\ge 0, z^{2}\ge 0. A soma de três quadrados é zero somente quando cada quadrado é zero, isto é, x=0, y=0 e z=0. Portanto o conjunto definido é
W=\{(0,0,0)\}.
O conjunto \{(0,0,0)\} é chamado subespaço trivial e satisfaz todas as propriedades: contém o zero, soma de zeros é zero, múltiplo escalar de zero é zero. Logo W é subespaço. Conclusão: a opção c é subespaço (o subespaço trivial).

Passo 6

Analisando a opção d: W=\{(x,y,z)\mid x\in\mathbb{Q}\}.
Verificamos se W é fechado sob multiplicação por escalar. Tome um vetor em W, por exemplo \mathbf{u}=(1,0,0) (aqui x=1\in\mathbb{Q}, então \mathbf{u}\in W). Agora escolha um escalar c=\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. O produto escalar é
c\mathbf{u}=(\sqrt{2},0,0).
A primeira coordenada \sqrt{2} não pertence a \mathbb{Q}, então c\mathbf{u}\notin W. Assim W não é fechado por multiplicação por escalares reais e, portanto, não é subespaço. Conclusão: a opção d não é subespaço.

Passo 7

Analisando a opção e: W=\{(3x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
Note que qualquer vetor nessa forma pode ser escrito como (t,0,0) com t=3x. Como x percorre todos os reais, t também percorre todos os reais (basta tomar x=t/3). Portanto
W=\{(t,0,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0,0)\},
isto é, a reta x-axis em \mathbb{R}^{3}. Verificações:
  • Contém (0,0,0) (tomando x=0).
  • Fechado por soma e por multiplicação por escalar porque é um span de um vetor. Assim W é subespaço. Conclusão: a opção e é subespaço.

Resposta

a, c, e

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