Dados U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=0\right\} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=y\right\} subespaços de \mathbb{R}^{3}. Temos que U \cap W=\{(x, x, 0): x \in \mathbb{R}\}.
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3} e afirma uma identidade sobre a interseção:
  • Dados U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: z=0\}e W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x=y\}.
  • Afirma-se que U\cap W=\{(x,x,0): x\in\mathbb{R}\}.
A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Vou agora demonstrar passo a passo por que a afirmação é (ou não é) correta.

Passo 2

Entenda bem o que é U. A condição z=0 significa que todos os vetores de U têm coordenada z nula, então U é o plano xy-plano. Podemos descrever U por parâmetros ou por base:
U=\{(x,y,0): x,y\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.
Aqui (1,0,0) e (0,1,0) são vetores que geram todo U.

Passo 3

Agora entenda W. A condição x=y significa que as primeiras duas coordenadas são iguais, enquanto z é livre. Podemos parametrizar W por dois parâmetros, digamos t para a primeira igualdade e s para a coordenada z:
W=\{(t,t,s): t,s\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Portanto W também é um plano (passando pela origem) gerado por (1,1,0) e (0,0,1).

Passo 4

Para achar U\cap W precisamos dos vetores que satisfazem simultaneamente z=0 (condição de U) e x=y (condição de W). Pegue um vetor genérico de W,
(v_x,v_y,v_z)=(t,t,s),
e imponha a condição z=0. Isso dá s=0. Substituindo, obtemos
(v_x,v_y,v_z)=(t,t,0).
Logo todo vetor na interseção tem a forma (t,t,0) com t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Mostre a igualdade de conjuntos de forma completa (duas inclusões):
  • Inclusão \subseteq: se (x,y,z)\in U\cap W, então z=0 (porque está em U) e x=y (porque está em W). Portanto (x,y,z)=(x,x,0), ou seja (x,x,0) com x\in\mathbb{R}. Assim U\cap W\subseteq\{(x,x,0):x\in\mathbb{R}\}.
  • Inclusão \supseteq: se tomamos um vetor (x,x,0) com x\in\mathbb{R}, ele satisfaz z=0 e x=y, logo pertence tanto a U quanto a W. Portanto \{(x,x,0):x\in\mathbb{R}\}\subseteq U\cap W.
Como há inclusão em ambos os sentidos, concluímos
U\cap W=\{(x,x,0):x\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão final rápida: a interseção é uma linha (subespaço unidimensional) gerada por (1,1,0), isto é
U\cap W=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}=\{(x,x,0):x\in\mathbb{R}\},
o que coincide exatamente com a afirmativa do enunciado. Então a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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