Dados
e
subespaços de
. Temos que
.
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
e afirma uma identidade sobre a interseção:
- Dados
e - Afirma-se que
A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Vou agora demonstrar passo a passo por que a afirmação é (ou não é) correta.
Vou agora demonstrar passo a passo por que a afirmação é (ou não é) correta.
Passo 2
Entenda bem o que é
. A condição
significa que todos os vetores de
têm coordenada
nula, então
é o plano
-plano. Podemos descrever
por parâmetros ou por base:
Aqui
e
são vetores que geram todo
.
Passo 3
Agora entenda
. A condição
significa que as primeiras duas coordenadas são iguais, enquanto
é livre. Podemos parametrizar
por dois parâmetros, digamos
para a primeira igualdade e
para a coordenada
:
Portanto
também é um plano (passando pela origem) gerado por
e
.
Passo 4
Para achar
precisamos dos vetores que satisfazem simultaneamente
(condição de
) e
(condição de
). Pegue um vetor genérico de
,
e imponha a condição
. Isso dá
. Substituindo, obtemos
Logo todo vetor na interseção tem a forma
com
.
Passo 5
Mostre a igualdade de conjuntos de forma completa (duas inclusões):
- Inclusão
: se , então (porque está em ) e (porque está em ). Portanto , ou seja com . Assim . - Inclusão
: se tomamos um vetor com , ele satisfaz e , logo pertence tanto a quanto a . Portanto .
Como há inclusão em ambos os sentidos, concluímos
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão final rápida: a interseção é uma linha (subespaço unidimensional) gerada por
, isto é
o que coincide exatamente com a afirmativa do enunciado. Então a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro