Assinale, dentre as proposições seguintes, a verdadeira:
a) Em qualquer triângulo, o baricentro pertence ao seu interior.
b) Em qualquer triângulo, o circuncentro pertence ao seu interior.
c) Duas semi-retas de mesma origem são colineares.
d) Num triângulo isósceles, o circuncentro coincide com o baricentro.
a) Em qualquer triângulo, o baricentro pertence ao seu interior.
b) Em qualquer triângulo, o circuncentro pertence ao seu interior.
c) Duas semi-retas de mesma origem são colineares.
d) Num triângulo isósceles, o circuncentro coincide com o baricentro.
Passo 1
O enunciado pede para escolher qual das proposições a seguir é sempre verdadeira: a) o baricentro está sempre no interior de qualquer triângulo, b) o circuncentro está sempre no interior, c) duas semirretas de mesma origem são colineares, d) num isósceles o circuncentro coincide com o baricentro. O conteúdo envolve propriedades dos centros de um triângulo (baricentro e circuncentro) e definição de colinearidade.
Passo 2
Lembrando que o baricentro é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. Cada mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto, e por construção esse encontro de segmentos internos fica sempre dentro da região do triângulo. Logo, em qualquer tipo de triângulo, o baricentro pertence ao seu interior.
Passo 3
O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Ele está dentro se o triângulo é agudo, sobre um lado se é reto e fora se é obtuso. Então não pertence sempre ao interior.
Passo 4
Duas semirretas com mesma origem são colineares apenas se estiverem sobre a mesma reta, ou seja, se uma for extensão da outra na direção oposta ou coincidente. Como isso nem sempre acontece, a proposição c) é falsa.
Passo 5
Num triângulo isósceles o circuncentro e o baricentro ficam alinhados no mesmo eixo de simetria, mas em posições distintas a menos que o triângulo seja equilátero. Portanto, em geral eles não coincidem. Desequilátero isósceles ainda não basta para coincidirem.
Resposta
a) Em qualquer triângulo, o baricentro pertence ao seu interior.