Assinale a derivada da função definida por
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a sua derivada. As alternativas oferecidas são (a), (b), (c) e (d). Informações importantes fornecidas:
- A soma é finita, dos expoentes
até . - Quer-se
, a derivada da função em termos de e .
Passo 2
Primeiro lembrete prático (fórmula que uso sempre): a derivada de uma potência é
onde
é um inteiro não-negativo. Como
é soma finita de potências, posso derivar termo a termo. Assim,
(Observe que o termo
dá derivada zero.)
Passo 3
A expressão
é correta e útil, mas as alternativas estão escritas de forma fechada. Para obter uma forma fechada uso a fórmula fechada para a soma geométrica (válida para
):
Então, para
podemos escrever
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente para derivar
, onde
e
. A regra do quociente diz:
Calculo
e
:
Passo 5
Substituo na fórmula do quociente e simplifico passo a passo:
Expando o numerador:
Agora junto os termos com
:
Portanto o numerador fica
e assim
Passo 6
Note que
, então a expressão acima é algebraicamente igual a
Essa forma aparece exatamente na alternativa (a). Para checar coerência no ponto
: como
é polinômio, a derivada em
existe e, usando a soma termo a termo,
A expressão em (a) é obtida para
pela derivação da forma fechada; ela pode ser prolongada por continuidade em
e dá o mesmo valor limite, portanto está correta como representação da derivada.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas:
- (a) é
, que coincide com o que obtivemos. - (b), (c) e (d) não coincidem com a expressão simplificada acima (por exemplo, (c) falta o termo
).
Resposta
(a)