Assinale a derivada da função definida por
f(x)=1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}
(a) \frac{1-(n+1) x^{n}+n x^{n+1}}{(x-1)^{2}}
(b) \frac{1-x^{n}}{1-x}
(c) \frac{1-(n+1) x^{n}}{(x-1)^{2}}
(d) -(n+1) x^{n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}
e pede a sua derivada. As alternativas oferecidas são (a), (b), (c) e (d). Informações importantes fornecidas:
  • A soma é finita, dos expoentes 0 até n.
  • Quer-se f'(x), a derivada da função em termos de x e n.

Passo 2

Primeiro lembrete prático (fórmula que uso sempre): a derivada de uma potência é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{k}\bigr)=k\,x^{k-1},
onde k é um inteiro não-negativo. Como f é soma finita de potências, posso derivar termo a termo. Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}\bigr) =\sum_{k=0}^{n}\frac{d}{dx}\bigl(x^{k}\bigr) =\sum_{k=1}^{n}k\,x^{k-1}.
(Observe que o termo k=0 dá derivada zero.)

Passo 3

A expressão \sum_{k=1}^{n}k\,x^{k-1} é correta e útil, mas as alternativas estão escritas de forma fechada. Para obter uma forma fechada uso a fórmula fechada para a soma geométrica (válida para x\neq 1):
1+x+x^{2}+\ldots+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.
Então, para x\neq 1 podemos escrever
f(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente para derivar \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, onde u(x)=1-x^{n+1} e v(x)=1-x. A regra do quociente diz:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Calculo u' e v':
u'(x)=-(n+1)x^{n},\qquad v'(x)=-1.

Passo 5

Substituo na fórmula do quociente e simplifico passo a passo:
f'(x)=\frac{[-(n+1)x^{n}](1-x)-(1-x^{n+1})(-1)}{(1-x)^{2}}.
Expando o numerador:
f'(x)=\frac{-(n+1)x^{n}+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}.
Agora junto os termos com x^{n+1}:
(n+1)x^{n+1}-x^{n+1}=n\,x^{n+1}.
Portanto o numerador fica
1-(n+1)x^{n}+n\,x^{n+1},
e assim
f'(x)=\frac{1-(n+1)x^{n}+n\,x^{n+1}}{(1-x)^{2}},\qquad (x\neq 1).

Passo 6

Note que (1-x)^{2}=(x-1)^{2}, então a expressão acima é algebraicamente igual a
\frac{1-(n+1)x^{n}+n\,x^{n+1}}{(x-1)^{2}}.
Essa forma aparece exatamente na alternativa (a). Para checar coerência no ponto x=1: como f é polinômio, a derivada em x=1 existe e, usando a soma termo a termo,
f'(1)=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.
A expressão em (a) é obtida para x\neq 1 pela derivação da forma fechada; ela pode ser prolongada por continuidade em x=1 e dá o mesmo valor limite, portanto está correta como representação da derivada.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas:
  • (a) é \displaystyle \frac{1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}}{(x-1)^{2}}, que coincide com o que obtivemos.
  • (b), (c) e (d) não coincidem com a expressão simplificada acima (por exemplo, (c) falta o termo n x^{n+1}).

Resposta

(a)

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