Classifique em verdadeira ou falsa as afirmações sobre a função F definida por:
F(x)=\int_{0}^{x}(t-1)(t-2)(t-3) d t
(I) F possui dois zeros no intervalo (0,5)
(II) As retas tangentes ao gráfico de F em x=1 e x=2 são idênticas

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{0}^{x}(t-1)(t-2)(t-3)\,dt
e pede para classificar em verdadeira ou falsa as duas afirmações:
(I) \;F possui dois zeros no intervalo (0,5).
(II) \;As retas tangentes ao gráfico de F em x=1 e x=2 são idênticas.
Informações relevantes dadas:
  • A função F é definida como uma integral com limite superior variável.
  • O integrando é o polinômio (t-1)(t-2)(t-3).
  • Queremos zeros de F no intervalo (0,5) e comparar as tangentes em x=1 e x=2.

Passo 2

Vou achar a derivada F'(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (caso mais simples: integral com limite superior variável), a derivada da função definida por uma integral com limite superior x é o integrando avaliado em x. Ou seja,
F'(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
Explicando devagar: se G(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt com g contínua, então G'(x)=g(x). Aqui g(t)=(t-1)(t-2)(t-3), logo F'(x)=g(x).

Passo 3

Para analisar zeros de F e valores em pontos específicos é prático obter a expressão explícita de F(x). Primeiro expandimos o integrando:
(t-1)(t-2)(t-3)=(t^2-3t+2)(t-3)=t^3-6t^2+11t-6.
Agora integramos termo a termo:
F(x)=\int_{0}^{x}\bigl(t^3-6t^2+11t-6\bigr)\,dt = \left[\tfrac{1}{4}t^4-2t^3+\tfrac{11}{2}t^2-6t\right]_{0}^{x}.
Portanto
F(x)=\tfrac{1}{4}x^4-2x^3+\tfrac{11}{2}x^2-6x.

Passo 4

Avalio F em pontos úteis (fazendo as contas passo a passo):
Para x=0:
F(0)=0.
Para x=1:
F(1)=\tfrac{1}{4}-2+\tfrac{11}{2}-6 =\tfrac{1}{4}+\tfrac{11}{2}-8 =\tfrac{1}{4}+\tfrac{22}{4}-\tfrac{32}{4} =\tfrac{23-32}{4}=-\tfrac{9}{4}.
Para x=2:
F(2)=\tfrac{1}{4}\cdot16-2\cdot8+\tfrac{11}{2}\cdot4-6\cdot2 =4-16+22-12=-2.
Para x=3:
F(3)=\tfrac{1}{4}\cdot81-2\cdot27+\tfrac{11}{2}\cdot9-6\cdot3 =\tfrac{81}{4}-54+\tfrac{99}{2}-18 =\tfrac{81+198}{4}-72=\tfrac{279-288}{4}=-\tfrac{9}{4}.
Para x=4:
F(4)=\tfrac{1}{4}\cdot256-2\cdot64+\tfrac{11}{2}\cdot16-6\cdot4 =64-128+88-24=0.
Para x=5:
F(5)=\tfrac{1}{4}\cdot625-2\cdot125+\tfrac{11}{2}\cdot25-6\cdot5 =\tfrac{625}{4}-250+\tfrac{275}{2}-30 =\tfrac{625-1000+550-120}{4}=\tfrac{55}{4}>0.
Observação: já vimos que F(0)=0 e F(4)=0. Mas a afirmação (I) pede zeros em (0,5), ou seja, estritos, então x=0 não conta e x=4 conta (pois 4\in(0,5)). Para garantir que não há outro zero em (0,5) é útil fatorar F(x).

Passo 5

Fatoramos F(x). Multiplicando por 4 para facilitar:
4F(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x=x(x^3-8x^2+22x-24).
Note que x=4 zera o polinômio cúbico (verificação: 4^3-8\cdot4^2+22\cdot4-24=64-128+88-24=0), então dividimos o cúbico por (x-4) (divisão sintética) e obtemos
x^3-8x^2+22x-24=(x-4)(x^2-4x+6).
Logo
4F(x)=x(x-4)(x^2-4x+6),
ou seja
F(x)=\tfrac{1}{4}\,x(x-4)(x^2-4x+6).
O discriminante da quadrática x^2-4x+6 é
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0,
portanto a quadrática não tem raízes reais. Assim, as únicas raízes reais de F são x=0 e x=4. Como 0\notin(0,5) e 4\in(0,5), há exatamente um zero de F em (0,5), não dois.
Conclusão parcial: a afirmação (I) é falsa.

Passo 6

Agora trato (II): “As retas tangentes ao gráfico de F em x=1 e x=2 são idênticas.”
Regra prática: a reta tangente a F em x=a tem equação
y=F'(a)(x-a)+F(a),
onde F'(a) é a inclinação (coeficiente angular) e F(a) define o ponto de passagem. Calculamos as inclinações:
F'(x)=(x-1)(x-2)(x-3),
logo
F'(1)=0,\qquad F'(2)=0.
Portanto ambas as tangentes são horizontais (inclinação nula).
Mas ter mesma inclinação não garante que as retas sejam idênticas; é preciso que tenham também o mesmo valor de y (ou seja, a mesma constante quando são horizontais). Usamos os valores que já calculamos:
F(1)=-\tfrac{9}{4},\qquad F(2)=-2.
Assim as retas tangentes são
\text{em }x=1:\quad y=-\tfrac{9}{4}, \qquad \text{em }x=2:\quad y=-2.
São duas retas horizontais distintas (constantes diferentes), logo não são idênticas.
Conclusão: a afirmação (II) é falsa.

Resposta

(I) Falsa
(II) Falsa

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