Classifique em verdadeira ou falsa as afirmações sobre a função
definida por:
(I)
possui dois zeros no intervalo
(II) As retas tangentes ao gráfico de
em
e
são idênticas
(II) As retas tangentes ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar em verdadeira ou falsa as duas afirmações:
(I) possui dois zeros no intervalo
.
(II) As retas tangentes ao gráfico de
em
e
são idênticas.
(I)
(II)
Informações relevantes dadas:
- A função
é definida como uma integral com limite superior variável. - O integrando é o polinômio
. - Queremos zeros de
no intervalo e comparar as tangentes em e .
Passo 2
Vou achar a derivada
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (caso mais simples: integral com limite superior variável), a derivada da função definida por uma integral com limite superior
é o integrando avaliado em
. Ou seja,
Explicando devagar: se
com
contínua, então
. Aqui
, logo
.
Passo 3
Para analisar zeros de
e valores em pontos específicos é prático obter a expressão explícita de
. Primeiro expandimos o integrando:
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 4
Avalio
em pontos úteis (fazendo as contas passo a passo):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observação: já vimos que
e
. Mas a afirmação (I) pede zeros em
, ou seja, estritos, então
não conta e
conta (pois
). Para garantir que não há outro zero em
é útil fatorar
.
Passo 5
Fatoramos
. Multiplicando por
para facilitar:
Note que
zera o polinômio cúbico (verificação:
), então dividimos o cúbico por
(divisão sintética) e obtemos
Logo
ou seja
O discriminante da quadrática
é
portanto a quadrática não tem raízes reais. Assim, as únicas raízes reais de
são
e
. Como
e
, há exatamente um zero de
em
, não dois.
Conclusão parcial: a afirmação (I) é falsa.
Passo 6
Agora trato (II): “As retas tangentes ao gráfico de
em
e
são idênticas.”
Regra prática: a reta tangente a
em
tem equação
onde
é a inclinação (coeficiente angular) e
define o ponto de passagem. Calculamos as inclinações:
logo
Portanto ambas as tangentes são horizontais (inclinação nula).
Mas ter mesma inclinação não garante que as retas sejam idênticas; é preciso que tenham também o mesmo valor de
(ou seja, a mesma constante quando são horizontais). Usamos os valores que já calculamos:
Assim as retas tangentes são
São duas retas horizontais distintas (constantes diferentes), logo não são idênticas.
Conclusão: a afirmação (II) é falsa.
Resposta
(I) Falsa
(II) Falsa
(II) Falsa