Calcule a área sob o gráfico de f(x)=\frac{1}{\sqrt{3 x}}, em [1,2] :
(a) \sqrt{6}-\sqrt{3}
(b) \frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})
(c) \frac{2}{3}(\sqrt{6}-\sqrt{3})
(d) \frac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico da função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x}} no intervalo [1,2]. São fornecidas quatro alternativas:

(a) \sqrt{6}-\sqrt{3}
(b) \dfrac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})
(c) \dfrac{2}{3}(\sqrt{6}-\sqrt{3})
(d) \dfrac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3})

Passo 2

A área sob a curva de uma função contínua f em [a,b] é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui a=1, b=2 e f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x}}. É útil escrever f em forma de potência para integrar facilmente. Note que
\frac{1}{\sqrt{3x}}=\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,x^{-1/2}.
Escrevi assim porque a regra de potência para integrais funciona bem com x^n.

Passo 3

Lembrete da regra de integração (aula rápida): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2x^{1/2}+C.
Assim, usando o fator \dfrac{1}{\sqrt{3}},
\int \frac{1}{\sqrt{3x}}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\int x^{-1/2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 2x^{1/2}+C=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{x}+C.

Passo 4

Agora calcule a integral definida de 1 a 2:
\text{Área}=\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{3x}}\,dx=\left[\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{x}\right]_{1}^{2} =\frac{2}{\sqrt{3}}\big(\sqrt{2}-\sqrt{1}\big) =\frac{2}{\sqrt{3}}\big(\sqrt{2}-1\big).Á
Para comparar com as alternativas, escrevemos em termos de \sqrt{6} e \sqrt{3}. Multiplicando numerador e denominador convenientemente:
\frac{2}{\sqrt{3}}\big(\sqrt{2}-1\big)=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3} =\frac{2}{3}\big(\sqrt{6}-\sqrt{3}\big).
Portanto o valor coincide com a alternativa (c).

Resposta

(c) \dfrac{2}{3}(\sqrt{6}-\sqrt{3})

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