Assinale qual das equações abaixo representa uma circunferência:
a) 2 x^2+y^2-2 y+4 x=-1
b) x^2+y^2+x y-4 x-6 y-9=0
c) 4 x^2-4 y^2=0
d) 2(x^2+y^2)-4 x-6 y=3
e) 3(x^2+y^2)+4 x-6 y=-15

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das curvas de segunda ordem abaixo é uma circunferência. Lembremos que a equação geral de um círculo no plano é
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
isto é, os coeficientes de x^2 e de y^2 são iguais, não há termo misto xy e o raio obtido ao completar quadrados deve ser real (rai o^2> 0).

Passo 2

Verificamos as opções a), b) e c):
  • a) 2x^2+y^2-2y+4x=-1 tem coeficientes de x^2 e y^2 distintos ( 2neq1), logo não é circunferência.
  • b) x^2+y^2+xy-4x-6y-9=0 possui termo misto xyneq0, portanto não é circunferência.
  • c) 4x^2-4y^2=0 tem sinais opostos nos quadráticos, configura uma hipérbole (ou retas), não uma circunferência.

Passo 3

Analisamos d)
2l(x^2+y^2r)-4x-6y=3
Dividindo por 2:
x^2+y^2-2x-tfrac31y=tfrac32
Agora completamos quadrados:
x^2-2x=(x-1)^2-1, y^2-3y=(y-tfrac32)^2-tfrac94
Substituindo,
(x-1)^2-1+(y-tfrac32)^2-tfrac94=tfrac32 Longrightarrow (x-1)^2+(y-tfrac32)^2=tfrac32+1+tfrac94 =tfrac194>0
Temos centro (1,tfrac32) e raio raiztfrac194, ou seja, é uma circunferência real.

Passo 4

Analisamos e)
3l(x^2+y^2r)+4x-6y=-15 ;Longrightarrow; x^2+y^2+tfrac43x-2y=-5
Completando quadrados:
x^2+tfrac43x=(x+tfrac23)^2-tfrac49, y^2-2y=(y-1)^2-1,
(x+tfrac23)^2-tfrac49+(y-1)^2-1=-5 ;Longrightarrow; (x+tfrac23)^2+(y-1)^2=-5+tfrac49+1=-tfrac329<0
O “raio ao quadrado” é negativo, não há circunferência real.

Resposta

d) 2(x^2+y^2)-4x-6y=3

Exercícios relacionados