Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que identifiquemos que tipo de cônica é, a escrevamos na forma padrão, e esbocemos o gráfico indicando centro, eixos, vértices, focos e, no caso de parábola, diretriz. Aqui temos termos em
e
com sinais iguais, logo é uma elipse.
Passo 2
Para passar à forma padrão, vamos completar quadrados em
e em
. Começamos por agrupar e fatorar os coeficientes:
Passo 3
Em cada parêntese, adicionamos e subtraímos o termo necessário para completar quadrado:
Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Da forma
vemos que
,
e que
. Portanto:
- Centro
. - Semieixo maior vertical de comprimento
. - Semieixo menor horizontal de comprimento
. - Vértices maiores:
- Vértices menores:
Passo 5
O parâmetro focal
satisfaz
Os focos estão ao longo do eixo maior (vertical), a distância
do centro:
A excentricidade é
As retas diretrizes da elipse são horizontais, a distância do centro
:
isto é,
e
.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Eixos principais: reta vertical
e reta horizontal . - Elipse alongada verticalmente, passando pelos vértices calculados.
- Marcar os focos em
e . - Desenhar as diretrizes horizontais
e pontilhadas.
Resposta
A cônica é uma elipse cuja forma padrão é
Centro
, semieixo maior
na direção vertical, semieixo menor
na direção horizontal; focos em
e
; vértices em
e
; diretrizes
e
.