Determine qual a cônica dada e esboce seu gráfico. Inclua no esboço informações relevantes como o(s) foco(s), o vértice ou centro, o(s) eixo(s) e a reta diretriz no caso da parábola.
Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
3 x^2-12 x+2 y^2+8 y+14=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
3x^2-12x+2y^2+8y+14=0
e pede que identifiquemos que tipo de cônica é, a escrevamos na forma padrão, e esbocemos o gráfico indicando centro, eixos, vértices, focos e, no caso de parábola, diretriz. Aqui temos termos em x^2 e y^2 com sinais iguais, logo é uma elipse.

Passo 2

Para passar à forma padrão, vamos completar quadrados em x e em y. Começamos por agrupar e fatorar os coeficientes:
3l(x^2-4xr)+2l(y^2+4yr)+14=0

Passo 3

Em cada parêntese, adicionamos e subtraímos o termo necessário para completar quadrado:
x^2-4x=(x-2)^2-4, y^2+4y=(y+2)^2-4
Substituindo:
3l((x-2)^2-4r)+2l((y+2)^2-4r)+14=0
3(x-2)^2-12+2(y+2)^2-8+14=0
3(x-2)^2+2(y+2)^2-6=0
3(x-2)^2+2(y+2)^2=6
Dividindo ambos os lados por 6:
(x-2)^22+(y+2)^23=1

Passo 4

Da forma
(x-2)^2b^2+(y+2)^2a^2=1
vemos que a^2=3, b^2=2 e que a>b. Portanto:
  • Centro C=(2,-2).
  • Semieixo maior vertical de comprimento a=raiz3.
  • Semieixo menor horizontal de comprimento b=raiz2.
  • Vértices maiores: V1=l(2,,-2+raiz3r), V2=l(2,,-2-raiz3r)
  • Vértices menores: V3=l(2+raiz2,,-2r), V4=l(2-raiz2,,-2r)

Passo 5

O parâmetro focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=3-2=1 Longrightarrow c=1
Os focos estão ao longo do eixo maior (vertical), a distância c do centro:
F1=(2,-2+1)=(2,-1), F2=(2,-2-1)=(2,-3)
A excentricidade é
e=ca=1raiz3
As retas diretrizes da elipse são horizontais, a distância do centro a/e=raiz3/(1/raiz3)=3:
y+2=3(diretriz superior), y+2=-3(diretriz inferior),
isto é, y=1 e y=-5.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Centro em (2,-2).
  • Eixos principais: reta vertical x=2 e reta horizontal y=-2.
  • Elipse alongada verticalmente, passando pelos vértices calculados.
  • Marcar os focos em (2,-1) e (2,-3).
  • Desenhar as diretrizes horizontais y=1 e y=-5 pontilhadas.

Resposta

A cônica é uma elipse cuja forma padrão é
(x-2)^22+(y+2)^23=1
Centro C=(2,-2), semieixo maior a=raiz3 na direção vertical, semieixo menor b=raiz2 na direção horizontal; focos em (2,-1) e (2,-3); vértices em l(2,,-2pmraiz3r) e l(2pmraiz2,,-2r); diretrizes y=1 e y=-5.

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