Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, forneça um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0 pontos) Sejam u, v e w vetores não nulos tais que (u, v, w)=6, então (v, u, 2 w+v)=-12.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação
(u,v,w) = 6 Longrightarrow (v,u,2w+v) = -12
é verdadeira ou falsa. Vamos usar as propriedades do produto misto (também chamado de produto escalar triplo), em particular a linearidade em cada argumento e a antissimetria na troca de dois vetores.

Passo 2

Pela linearidade no terceiro fator do produto misto, temos
(v,u,2w+v) = (v,u,2w) + (v,u,v)
Como podemos fatorar constantes dentro do produto misto,
(v,u,2w) = 2,(v,u,w)

Passo 3

Observamos que
(v,u,v) = 0
porque há repetição do vetor v em dois lugares no produto misto.

Passo 4

Portanto
(v,u,2w+v) = 2,(v,u,w) + 0 = 2,(v,u,w)
Pela antissimetria, trocar os dois primeiros vetores muda o sinal:
(v,u,w) = -(u,v,w) = -6

Passo 5

Substituindo em
(v,u,2w+v) = 2 times l(-6r) = -12
Isso coincide exatamente com o que a afirmação propõe.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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