Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, forneça um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0 pontos) Sejam
e
vetores não nulos tais que
, então
.
(2,0 pontos) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Vamos usar as propriedades do produto misto (também chamado de produto escalar triplo), em particular a linearidade em cada argumento e a antissimetria na troca de dois vetores.
Passo 2
Pela linearidade no terceiro fator do produto misto, temos
Como podemos fatorar constantes dentro do produto misto,
Passo 3
Observamos que
porque há repetição do vetor
em dois lugares no produto misto.
Passo 4
Portanto
Pela antissimetria, trocar os dois primeiros vetores muda o sinal:
Passo 5
Substituindo em
Isso coincide exatamente com o que a afirmação propõe.
Resposta
A afirmação é verdadeira.