Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se assinale a função derivada. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Vamos lembrar a regra que precisamos usar: quando uma função é produto de duas funções diferenciáveis, por exemplo
e
, a derivada do produto é dada pela regra do produto:
Explicando em palavras: a derivada do produto é “derivar a primeira mantendo a segunda + manter a primeira e derivar a segunda”. Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Identificamos as duas funções que se multiplicam em
:
Agora calculamos as derivadas individuais usando regras básicas:
- A regra da potência: para
vale . Aplicando com :
- A derivada da função seno:
. Assim,
Passo 4
Aplicando a regra do produto
com os
que achamos:
Substituindo:
Podemos deixar assim ou fatorar
se quiser:
Passo 5
Comparando com as alternativas do enunciado, a expressão obtida
corresponde exatamente à alternativa (a).
Resposta
(a)