Assinale a função derivada de s(x)=x^{2} \sin (x) :
(a) s(x)^{\prime}=2 x \sin (x)+x^{2} \cos (x)
(b) s(x)^{\prime}=2 x \cos (x)+x^{2} \sin (x)
(c) s(x)^{\prime}=x^{2} \cos (x)
(d) s(x)^{\prime}=x^{2} \sin (x)

Passo 1

O enunciado dá a função \,s(x)=x^{2}\sin(x)\, e pede que se assinale a função derivada. As alternativas são:
(a) \,s'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)\,
(b) \,s'(x)=2x\cos(x)+x^{2}\sin(x)\,
(c) \,s'(x)=x^{2}\cos(x)\,
(d) \,s'(x)=x^{2}\sin(x)\,

Passo 2

Vamos lembrar a regra que precisamos usar: quando uma função é produto de duas funções diferenciáveis, por exemplo \,u(x) e \,v(x), a derivada do produto é dada pela regra do produto:
(uv)'=u'v+uv'.
Explicando em palavras: a derivada do produto é “derivar a primeira mantendo a segunda + manter a primeira e derivar a segunda”. Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' é a derivada de v em relação a x.

Passo 3

Identificamos as duas funções que se multiplicam em \,s(x):
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\sin(x).
Agora calculamos as derivadas individuais usando regras básicas:
  • A regra da potência: para u(x)=x^{n} vale \,u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2:
u'(x)=(x^{2})'=2x.
  • A derivada da função seno: (\sin x)'=\cos x. Assim,
v'(x)=(\sin x)'=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv' com os u,u',v,v' que achamos:
s'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
s'(x)=(2x)\sin(x)+x^{2}\cos(x).
Podemos deixar assim ou fatorar x se quiser:
s'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)=x\bigl(2\sin(x)+x\cos(x)\bigr).

Passo 5

Comparando com as alternativas do enunciado, a expressão obtida
s'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)
corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a) \,s'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)\,

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