Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para assinalar sua derivada entre as alternativas (a) a (d). As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
O que é pedido: calcular
e identificar qual alternativa coincide com o resultado.
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Se uma função é composta, isto é, se
, então a derivada é
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função externa; -
é a função interna; -
é a derivada da função externa avaliada na função interna; -
é a derivada da função interna.
Também úteis: derivadas básicas
Nessas fórmulas,
representa a variável/expressão que está dentro da função (pode ser
ou uma função de
).
Passo 3
Vamos identificar as camadas da composição em
. Definir funções internas para aplicar a regra da cadeia com calma:
Aqui
é composta de três níveis:
.
Passo 4
Derivada do nível mais externo aplicando a regra da cadeia uma vez:
Isso usa a regra: derivada de
é
avaliado na
, vezes
.
Passo 5
Agora calcular
. Como
, usando regra da cadeia novamente:
E
tem derivada
Passo 6
Substituir
e
em
e simplificar passo a passo:
Colocando de volta
e
e
:
Reordenando fatores e colocando o sinal negativo na frente:
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada coincide com a alternativa (b), que é
Resposta
(b)