Assinale a função derivada de g(x)=\sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right) :
(a) g^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(b) g^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(c) g^{\prime}(x)=\cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(d) g^{\prime}(x)=-2 x \cos \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\sin\!\big(\cos\!\big(x^{2}\big)\big) e pede para assinalar sua derivada entre as alternativas (a) a (d). As alternativas são:
(a) g^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \sin \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(b) g^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(c) g^{\prime}(x)=\cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
(d) g^{\prime}(x)=-2 x \cos \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right)
O que é pedido: calcular g^{\prime}(x) e identificar qual alternativa coincide com o resultado.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Se uma função é composta, isto é, se h(x)=f\big(u(x)\big), então a derivada é
h'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • f é a função externa;
  • u(x) é a função interna;
  • f'(u(x)) é a derivada da função externa avaliada na função interna;
  • u'(x) é a derivada da função interna.
Também úteis: derivadas básicas
\frac{d}{dx}\sin(t)=\cos(t),\qquad \frac{d}{dx}\cos(t)=-\sin(t),\qquad \frac{d}{dx}\big(t^{2}\big)=2t\\ \text{quando }t=x.
Nessas fórmulas, t representa a variável/expressão que está dentro da função (pode ser x ou uma função de x).

Passo 3

Vamos identificar as camadas da composição em g. Definir funções internas para aplicar a regra da cadeia com calma:
v(x)=x^{2}, \qquad u(x)=\cos\big(v(x)\big)=\cos\big(x^{2}\big), \qquad g(x)=\sin\big(u(x)\big)=\sin\big(\cos(x^{2})\big).
Aqui g é composta de três níveis: x\mapsto v(x)\mapsto u(x)\mapsto g(x).

Passo 4

Derivada do nível mais externo aplicando a regra da cadeia uma vez:
g'(x)=\frac{d}{dx}\sin\big(u(x)\big)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Isso usa a regra: derivada de \sin é \cos avaliado na u(x), vezes u'(x).

Passo 5

Agora calcular u'(x). Como u(x)=\cos\big(v(x)\big), usando regra da cadeia novamente:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos\big(v(x)\big)=-\sin\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
E v(x)=x^{2} tem derivada
v'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 6

Substituir u'(x) e v'(x) em g'(x) e simplificar passo a passo:
g'(x)=\cos\big(u(x)\big)\cdot\big(-\sin\big(v(x)\big)\cdot v'(x)\big).
Colocando de volta u(x)=\cos(x^{2}) e v(x)=x^{2} e v'(x)=2x:
g'(x)=\cos\big(\cos(x^{2})\big)\cdot\big(-\sin(x^{2})\cdot 2x\big).
Reordenando fatores e colocando o sinal negativo na frente:
g'(x)=-2x\,\sin(x^{2})\,\cos\big(\cos(x^{2})\big).

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada coincide com a alternativa (b), que é
g^{\prime}(x)=-2 x \sin \left(x^{2}\right) \cos \left(\cos \left(x^{2}\right)\right).

Resposta

(b)

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