Assinale a função segunda derivada de f(x)=\sin \left(3 x^{2}+5 x+2\right) :
(a) f^{\prime \prime}(x)=6 \sin \left(3 x^{2}+5 x+2\right)-(6 x+5)^{2} \cos \left(3 x^{2}+5 x+2\right)
(b) f^{\prime \prime}(x)=(6 x+5) \cos \left(3 x^{2}+5 x+2\right)
(c) f^{\prime \prime}(x)=6 \cos \left(3 x^{2}+5 x+2\right)-(6 x+5)^{2} \sin \left(3 x^{2}+5 x+2\right)
(d) f^{\prime \prime}(x)=-(6 x+5)^{2} \cos \left(3 x^{2}+5 x+2\right)+6 \sin \left(3 x^{2}+5 x+2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin\!\left(3x^{2}+5x+2\right) e pede que se assinale qual das alternativas ((a), (b), (c) ou (d)) corresponde à segunda derivada f^{\prime\prime}(x). Informação explícita do enunciado:
  • Função: f(x)=\sin\!\left(3x^{2}+5x+2\right).
  • Pedir: encontrar f^{\prime\prime}(x) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Identificar a função interna e derivá‑la. É útil definir a função interna
u(x)=3x^{2}+5x+2.
Calcular a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)=6x+5.

Passo 3

Derivar f pela primeira vez usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para f(x)=\sin(u(x)),
f'(x)=\cos\!\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aplicando aqui:
f'(x)=\cos\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)\cdot(6x+5).

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada f''(x). Veja que f'(x) é produto de duas funções: g(x)=6x+5 e h(x)=\cos\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr). Usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)h(x)\bigr)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Calculamos cada termo:
  • g'(x)=6.
  • Para h'(x) usamos novamente a regra da cadeia: a derivada de \cos(u(x)) é -\sin(u(x))\cdot u'(x). Assim,
h'(x)=-\sin\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)\cdot(6x+5).
Agora montar f''(x):
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x) =6\cos\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)+(6x+5)\bigl[-\sin\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)\cdot(6x+5)\bigr].
Simplificando o segundo termo:
f''(x)=6\cos\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)-(6x+5)^{2}\sin\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr).

Passo 5

Comparando a expressão encontrada com as alternativas dadas, verifica‑se que a correspondente é a alternativa (c), que afirma
f^{\prime\prime}(x)=6\cos\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr)-(6x+5)^{2}\sin\!\bigl(3x^{2}+5x+2\bigr).

Resposta

(c)

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