Assinale a função derivada de g(x)=\cos (3-x) :
(a) g(x)^{\prime}=-\cos (3-x)
(b) g(x)^{\prime}=-(3-x) \sin (3-x)
(c) g(x)^{\prime}=\cos (3-x)
(d) g(x)^{\prime}=\sin (3-x)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\cos(3-x) e pede para assinalar a função derivada entre as alternativas:
(a) g'(x)=-\cos(3-x)
(b) g'(x)=-(3-x)\sin(3-x)
(c) g'(x)=\cos(3-x)
(d) g'(x)=\sin(3-x)
Portanto a tarefa é calcular g'(x) e comparar com as alternativas.

Passo 2

Lembrete útil (regra que vamos usar): a regra da cadeia. Se uma função é composta, isto é, se
h(x)=f(u(x)),
então a derivada de h em termos de f e u é
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando cada símbolo: f é a função externa (por exemplo \cos), u(x) é a função interna (por exemplo 3-x), f' é a derivada de f em relação ao seu argumento, e u'(x) é a derivada de u em relação a x. Esse produto aparece porque pequenas variações em x geram variações em u que, por sua vez, geram variações em f.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identifique as partes
f(t)=\cos t\quad\text{(função externa)}, \qquad u(x)=3-x\quad\text{(função interna)}.çãçã
A derivada de f em relação a t é
f'(t)=-\sin t,
porque a derivada de \cos é -\sin. Agora calcule u'(x): como u(x)=3-x, a derivada de 3 é 0 e a derivada de -x é -1, logo
u'(x)=-1.

Passo 4

Usando a regra da cadeia:
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = \bigl(-\sin(3-x)\bigr)\cdot(-1).
Multiplicando os sinais:
g'(x) = \sin(3-x).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar a identidade trigonométrica \cos(3-x)=\cos 3\cos x+\sin 3\sin x. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos 3\cos x+\sin 3\sin x\bigr) = \cos 3\cdot(-\sin x)+\sin 3\cdot\cos x.
Reescrevendo:
-\cos 3\sin x + \sin 3\cos x = \sin(3-x),
pois \sin(3-x)=\sin 3\cos x-\cos 3\sin x. Dá o mesmo resultado, ótimo.

Resposta

(d) g'(x)=\sin(3-x)

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