Assinale a função derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para assinalar a função derivada entre as alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Portanto a tarefa é calcular
e comparar com as alternativas.
Passo 2
Lembrete útil (regra que vamos usar): a regra da cadeia. Se uma função é composta, isto é, se
então a derivada de
em termos de
e
é
Explicando cada símbolo:
é a função externa (por exemplo
),
é a função interna (por exemplo
),
é a derivada de
em relação ao seu argumento, e
é a derivada de
em relação a
. Esse produto aparece porque pequenas variações em
geram variações em
que, por sua vez, geram variações em
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: identifique as partes
A derivada de
em relação a
é
porque a derivada de
é
. Agora calcule
: como
, a derivada de
é
e a derivada de
é
, logo
Passo 4
Usando a regra da cadeia:
Multiplicando os sinais:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar a identidade trigonométrica
. Derivando termo a termo:
Reescrevendo:
pois
. Dá o mesmo resultado, ótimo.
Resposta
(d)