(a) Determine o ponto dado pela intersecção das retas:
Passo 1
O enunciado dá duas retas no formato paramétrico (ambas escritas como
, com parâmetros diferentes) e pede o ponto de intersecção entre elas. Os dados são:
As perguntas que precisamos responder:
- Existe um ponto comum às duas retas?
- Se existir, qual é esse ponto (coordenadas)?
Passo 2
Entendendo a forma paramétrica: uma reta dada por
significa que qualquer ponto dessa reta tem coordenadas
onde
é o parâmetro. No nosso caso, a primeira reta tem parâmetro
e a segunda tem parâmetro
. Para que as retas se intersectem deve existir um par
tal que as três coordenadas sejam iguais ao mesmo tempo.
Passo 3
Escrevendo as coordenadas de cada reta explicitamente:
primeira reta:
primeira reta:
segunda reta:
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema de três equações em
e
:
Passo 4
Resolver o sistema começando pela equação mais simples. Da terceira equação:
logo
Escolhi essa primeira porque envolve só
e resolve imediatamente uma incógnita — boa prática em prova: sempre procure equações que já isolam uma variável.
Passo 5
Usar
na segunda equação para encontrar
:
Mostrei passo a passo substituindo o valor de
.
Passo 6
Verificar a consistência com a primeira equação (checar sempre todas as equações para evitar erros):
substituindo e
em
substituindo
temos
que é verdade. Portanto o sistema é consistente e as retas se intersectam em exatamente um ponto (não são paralelas distintas nem coincidentes com infinitos pontos em comum).
Passo 7
Calcular o ponto de intersecção usando os parâmetros encontrados. Usando a primeira reta com
:
Também é possível checar com a segunda reta usando
:
Os dois dão o mesmo ponto — ótimo sinal de que não houve erro.
Passo 8
Interpretação rápida para a prova: o método padrão é igualar componentes e resolver o sistema linear resultante. Se as equações ficarem contraditórias, não há intersecção; se houver uma família infinita de soluções, as retas coincidem; se houver exatamente uma solução
, as retas se intersectam naquele ponto calculado com o parâmetro encontrado. Respire fundo: fazer essas substituições é direto e resistente ao erro.