(a) Determine o ponto dado pela intersecção das retas:
\begin{aligned} & \mathbf{r}=\langle 1,1,0\rangle+t\langle 1,-1,2\rangle \\ & \mathbf{r}=\langle 2,0,2\rangle+s\langle-1,1,0\rangle \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no formato paramétrico (ambas escritas como \mathbf{r}, com parâmetros diferentes) e pede o ponto de intersecção entre elas. Os dados são:
\mathbf{r}=\langle 1,1,0\rangle+t\langle 1,-1,2\rangle
\mathbf{r}=\langle 2,0,2\rangle+s\langle -1,1,0\rangle
As perguntas que precisamos responder:
  • Existe um ponto comum às duas retas?
  • Se existir, qual é esse ponto (coordenadas)?

Passo 2

Entendendo a forma paramétrica: uma reta dada por
\mathbf{r}=\langle x_0,y_0,z_0\rangle + u\langle a,b,c\rangle
significa que qualquer ponto dessa reta tem coordenadas
(x,y,z)=(x_0+au,\,y_0+bu,\,z_0+cu),
onde u é o parâmetro. No nosso caso, a primeira reta tem parâmetro t e a segunda tem parâmetro s. Para que as retas se intersectem deve existir um par (t,s) tal que as três coordenadas sejam iguais ao mesmo tempo.

Passo 3

Escrevendo as coordenadas de cada reta explicitamente:
primeira reta:
(x,y,z)=(1+t,\;1-t,\;0+2t)
segunda reta:
(x,y,z)=(2-s,\;0+s,\;2+0\cdot s)=(2-s,\;s,\;2).
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema de três equações em t e s:
1+t=2-s
1-t=s
2t=2

Passo 4

Resolver o sistema começando pela equação mais simples. Da terceira equação:
2t=2
logo
t=1.
Escolhi essa primeira porque envolve só t e resolve imediatamente uma incógnita — boa prática em prova: sempre procure equações que já isolam uma variável.

Passo 5

Usar t=1 na segunda equação para encontrar s:
1-t=s \quad\Rightarrow\quad 1-1=s \quad\Rightarrow\quad s=0.
Mostrei passo a passo substituindo o valor de t.

Passo 6

Verificar a consistência com a primeira equação (checar sempre todas as equações para evitar erros):
substituindo t=1 e s=0 em
1+t=2-s
temos
1+1 = 2-0 \quad\Rightarrow\quad 2=2,
que é verdade. Portanto o sistema é consistente e as retas se intersectam em exatamente um ponto (não são paralelas distintas nem coincidentes com infinitos pontos em comum).

Passo 7

Calcular o ponto de intersecção usando os parâmetros encontrados. Usando a primeira reta com t=1:
(1+t,\;1-t,\;0+2t)=(1+1,\;1-1,\;0+2\cdot1)=(2,\;0,\;2).
Também é possível checar com a segunda reta usando s=0:
(2-s,\;s,\;2)=(2-0,\;0,\;2)=(2,\;0,\;2).
Os dois dão o mesmo ponto — ótimo sinal de que não houve erro.

Passo 8

Interpretação rápida para a prova: o método padrão é igualar componentes e resolver o sistema linear resultante. Se as equações ficarem contraditórias, não há intersecção; se houver uma família infinita de soluções, as retas coincidem; se houver exatamente uma solução (t,s), as retas se intersectam naquele ponto calculado com o parâmetro encontrado. Respire fundo: fazer essas substituições é direto e resistente ao erro.

Resposta

\langle 2,0,2\rangle

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