Determine o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b} e verifique que ele é ortogonal a \mathbf{a} \mathbf{e} \mathbf{b}.
3. \quad \mathbf{a}=\mathbf{i}+3 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=-\mathbf{i}+5 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
  • Verificar que esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
Os dados fornecidos (peguei do enunciado) são:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}\quad\text{e}\quad \mathbf{b}=-\mathbf{i}+5\mathbf{k}.
Em coordenadas isso equivale a
\mathbf{a}=(1,\,3,\,-2),\qquad \mathbf{b}=(-1,\,0,\,5).

Passo 2

O que é o produto vetorial (em poucas palavras amigáveis)?
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular aos dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}. O tamanho dele é \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, e a direção é dada pela regra da mão direita.
  • Computacionalmente, usa-se a expressão em forma de determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
ou, expandindo em componentes,
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2\bigr)\mathbf{i}-\bigl(a_1b_3-a_3b_1\bigr)\mathbf{j}+\bigl(a_1b_2-a_2b_1\bigr)\mathbf{k}.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} e b_1,b_2,b_3 as de \mathbf{b}.

Passo 3

Substituindo as componentes de \mathbf{a}=(1,3,-2) e \mathbf{b}=(-1,0,5) na fórmula do determinante, temos:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ -1 & 0 & 5 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculemos as três componentes separadamente:
Componente em \mathbf{i}:
a_2b_3-a_3b_2 = 3\cdot 5 - (-2)\cdot 0 = 15 - 0 = 15.
Componente em \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo da fórmula):
-\bigl(a_1b_3-a_3b_1\bigr) = -\bigl(1\cdot 5 - (-2)\cdot(-1)\bigr) = -\bigl(5 - 2\bigr) = -3.
Componente em \mathbf{k}:
a_1b_2-a_2b_1 = 1\cdot 0 - 3\cdot(-1) = 0 - (-3) = 3.

Passo 5

Juntando as componentes, obtemos
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=15\mathbf{i}-3\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
Podemos também fatorar 3:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=3\bigl(5\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}\bigr).

Passo 6

Agora a verificação de ortogonalidade. Lembrete: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. O produto escalar de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Calculemos \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (1)\cdot 15 + (3)\cdot(-3) + (-2)\cdot 3 = 15 -9 -6 = 0.
Calculemos \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = (-1)\cdot 15 + (0)\cdot(-3) + (5)\cdot 3 = -15 + 0 + 15 = 0.

Passo 7

Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}. Pronto — missão cumprida!

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=15\mathbf{i}-3\mathbf{j}+3\mathbf{k}
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0

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