Determine o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b} e verifique que ele é ortogonal a \mathbf{a} \mathbf{e} \mathbf{b}.
3. \quad \mathbf{a}=\mathbf{i}+3 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=-\mathbf{i}+5 \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
Verificar que esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
O que é o produto vetorial (em poucas palavras amigáveis)?
O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular aos dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}. O tamanho dele é \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, e a direção é dada pela regra da mão direita.
Computacionalmente, usa-se a expressão em forma de determinante:
Agora a verificação de ortogonalidade. Lembrete: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles é zero. O produto escalar de \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
Como ambos os produtos escalares são iguais a zero, concluímos que \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}. Pronto — missão cumprida!