Assinale a função segunda derivada de
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua segunda derivada
. São apresentadas quatro alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes do enunciado:
- A função é dada explicitamente por
. - O que se pede é a derivada de segunda ordem
. - As alternativas mostram combinações de
e de com sinais diferentes.
Passo 2
Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A derivada da função
em relação a é dada por . Ou seja, primeiro deriva-se em relação à sua entrada , que dá , e depois multiplica-se pela derivada da entrada (regra da cadeia). - A derivada da função
em relação a é dada por . - Para uma função linear
, a derivada é .
Essas são as duas fórmulas principais que usaremos: derivada de
e de
, sempre aplicando a regra da cadeia quando a entrada não é simplesmente
.
Passo 3
Vamos aplicar passo a passo a primeira derivada. Defino a entrada interna
Então
. Aplicando a regra para
:
Substituindo
e
:
Como
, temos
Observação rápida e útil: é consistente com a identidade da paridade das funções trigonométricas:
e derivando
dá
, que é igual a
porque
é ímpar. Ou seja, ambas abordagens batem.
Passo 4
Agora derivamos
para obter a segunda derivada. Novamente usamos a regra da cadeia. Tome
(mesma entrada), com
. A derivada de
é
. Logo:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 5
Checagem rápida de consistência (sem cálculos extras): sabe-se que a derivada duas vezes de
de um argumento linear geralmente dá
do mesmo argumento multiplicado pelo quadrado da derivada da entrada; aqui a derivada da entrada é
e o quadrado é
, então o sinal negativo permanece e não aparece outro fator, confirmando o resultado
.
Resposta
(b)