Assinale a função segunda derivada de g(x)=\cos (3-x) :
(a) g^{\prime \prime}(x)=\cos (3-x)
(b) g^{\prime \prime}(x)=-\cos (3-x)
(c) g^{\prime \prime}(x)=-\sin (3-x)
(d) g^{\prime \prime}(x)=\sin (3-x)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\cos(3-x) e pede a sua segunda derivada g^{\prime\prime}(x). São apresentadas quatro alternativas:
(a) g^{\prime\prime}(x)=\cos(3-x)
(b) g^{\prime\prime}(x)=-\cos(3-x)
(c) g^{\prime\prime}(x)=-\sin(3-x)
(d) g^{\prime\prime}(x)=\sin(3-x)
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é dada explicitamente por g(x)=\cos(3-x).
  • O que se pede é a derivada de segunda ordem g^{\prime\prime}(x).
  • As alternativas mostram combinações de \sin e \cos de (3-x) com sinais diferentes.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A derivada da função \cos(u) em relação a x é dada por \dfrac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot \dfrac{du}{dx}. Ou seja, primeiro deriva-se \cos em relação à sua entrada u, que dá -\sin(u), e depois multiplica-se pela derivada da entrada u (regra da cadeia).
  • A derivada da função \sin(u) em relação a x é dada por \dfrac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot \dfrac{du}{dx}.
  • Para uma função linear u(x)=3-x, a derivada é \dfrac{du}{dx}=-1.
Essas são as duas fórmulas principais que usaremos: derivada de \cos e de \sin, sempre aplicando a regra da cadeia quando a entrada não é simplesmente x.

Passo 3

Vamos aplicar passo a passo a primeira derivada. Defino a entrada interna
u(x)=3-x.
Então \dfrac{du}{dx}=-1. Aplicando a regra para \cos(u):
g(x)=\cos(u(x))\quad\Rightarrow\quad g'(x)= -\sin(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x):
g'(x)= -\sin(3-x)\cdot(-1).
Como -\sin(3-x)\cdot(-1)=\sin(3-x), temos
g'(x)=\sin(3-x).
Observação rápida e útil: é consistente com a identidade da paridade das funções trigonométricas: \cos(3-x)=\cos(x-3) e derivando \cos(x-3) -\sin(x-3), que é igual a \sin(3-x) porque \sin é ímpar. Ou seja, ambas abordagens batem.

Passo 4

Agora derivamos g'(x)=\sin(3-x) para obter a segunda derivada. Novamente usamos a regra da cadeia. Tome u(x)=3-x (mesma entrada), com u'(x)=-1. A derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'(x). Logo:
g''(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3-x e u'(x)=-1:
g''(x)=\cos(3-x)\cdot(-1).
Portanto
g''(x)=-\cos(3-x).

Passo 5

Checagem rápida de consistência (sem cálculos extras): sabe-se que a derivada duas vezes de \cos de um argumento linear geralmente dá -\cos do mesmo argumento multiplicado pelo quadrado da derivada da entrada; aqui a derivada da entrada é -1 e o quadrado é 1, então o sinal negativo permanece e não aparece outro fator, confirmando o resultado g''(x)=-\cos(3-x).

Resposta

(b) g^{\prime\prime}(x)=-\cos(3-x)

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