Assinale a opção que apresenta o conjunto de todos os valores de x e R para os quais
converge.
A)
B)
C)
D)
E)

Passo 1

Beleza, aqui o lance é analisar a série de potências
sumn=0^infty 3^n2^n+4^n,x^n
e descobrir para quais valores de xinR ela converge. Isso faz parte do tópico “séries de potências” e “raio de convergência”. A ferramenta principal vai ser o teste da razão.

Passo 2

Vamos chamar o coeficiente geral de
an = 3^n2^n + 4^n
No teste da razão, a gente calcula
L = limntoinftyl|an+1,x^n+1an,x^nr| =limntoinftyl|an+1anr|;|x|
Primeiro,
an+1an =3^n+1/(2^n+1+4^n+1)3^n/(2^n+4^n) =3;2^n+4^n2^n+1+4^n+1
Para n grande, 4^n domina 2^n, então
2^n+4^napprox4^n, 2^n+1+4^n+1approx4cdot4^n=4^n+1,
e daí
an+1an;longrightarrow;3;4^n4^n+1=34

Passo 3

Logo, no teste da razão a condição de convergência é
L=34,l|xr|<1 Longrightarrow |x|<43
Isso nos dá o raio de convergência
R=43,
logo a série converge para
-,43<x<43

Passo 4

A gente ainda precisa checar os extremos x=pm43:
  • Para x=43, o termo geral vira
    4^n2^n+4^nto1, então não converge.
  • Para x=-43, o termo geral é
    (-4)^n2^n+4^napprox(-1)^n, que também não converge.
    Portanto, os extremos não entram.

Resposta

,xinRmid -tfrac43<x<tfrac43 (alternativa B)

Exercícios relacionados