Exercício 9. As equações abaixo dão a posição de uma partícula em um dado tempo t num intervalo especificado. Em cada item, encontre as velocidades inicial e final e a distância percorrida.
x(t)=a cos ^3 t, y(t)=a sen^3 t, 0<t<12 pi;

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica (x(t),y(t)) para
x(t)=acos^3t, y(t)=asin^3t, 0<t<pi2,
e pede as velocidades inicial e final e a distância percorrida. Vamos usar derivação para obter o vetor velocidade v(t)=(x'(t),y'(t)) e a fórmula do comprimento de arco
s=integralt0^t1| v(t)|,dt

Passo 2

Derivamos cada componente:
x'(t)=ddtl(acos^3tr)=-3acos^2tsin t,
y'(t)=ddtl(asin^3tr)=3asin^2tcos t
Logo,
v(t)=l(-3acos^2tsin t,;3asin^2tcos tr)

Passo 3

Avaliações nos extremos do intervalo:
v(0)=l(-3acdot1cdot0,;3acdot0cdot1r)=(0,0),
vl(tfracpi2r) =l(-3acdot0cdot1,;3acdot1cdot0r)=(0,0)
Portanto a velocidade inicial e a velocidade final são nulas.

Passo 4

A distância percorrida é dada por
s=integral0^pi/2raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2,dt =3aintegral0^pi/2raizcos^2t,sin^2t,dt =3aintegral0^pi/2sin tcos t,dt
Como
integralsin tcos t,dt=12sin^2t,
segue que
s=3acdot12l[sin^2tr]0^pi/2 =3a2

Resposta

Velocidade inicial: v(0)=(0,0)
Velocidade final: v(tfracpi2)=(0,0)
Distância percorrida: 3a2

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