Suponha que u e v sejam funções deriváveis de x e que
u(1)=2,
u^{\prime}(1)=0,
v(1)=5,
v^{\prime}(1)=-1
Encontre os valores das derivadas a seguir em x=1.
\frac{d}{d x}(u v)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em x=1 da função produto u(x)\,v(x), ou seja, encontrar \dfrac{d}{dx}\bigl(u v\bigr) avaliada em x=1.
Informações dadas (valores que o enunciado fornece):
  • u(1)=2
  • u^{\prime}(1)=0
  • v(1)=5
  • v^{\prime}(1)=-1

Passo 2

Fórmula que vamos usar (regra do produto). Para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), vale a identidade
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u^{\prime}(x)\,v(x)+u(x)\,v^{\prime}(x).
Aqui u^{\prime}(x) e v^{\prime}(x) significam as derivadas de u e v em relação a x; o lado direito indica que a derivada do produto é a soma de dois termos: a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Breve justificativa (para entender e poder usar na prova): pela definição da derivada,
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
Adicionar e subtrair u(x+h)v(x) permite reescrever o numerador como
u(x+h)\bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)+v(x)\bigl(u(x+h)-u(x)\bigr).
Dividindo por h e fazendo o limite h\to0 obtemos
\lim_{h\to0}u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\\ v(x)\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.
Como u é contínua, \lim_{h\to0}u(x+h)=u(x), e os quocientes são as derivadas de v e u. Portanto chega-se a
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)(x)=u(x)\,v^{\prime}(x)+v(x)\,u^{\prime}(x),
que é a fórmula do passo anterior (ordem dos termos irrelevante).

Passo 4

Aplicando a fórmula no ponto x=1:
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)\Big|_{x=1}=u^{\prime}(1)\,v(1)+u(1)\,v^{\prime}(1).

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos:
u^{\prime}(1)\,v(1)=0\cdot5=0,
u(1)\,v^{\prime}(1)=2\cdot(-1)=-2.
Somando os dois termos:
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)\Big|_{x=1}=0+(-2)=-2.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o valor -2 significa que, naquele ponto x=1, o produto u(x)v(x) está decrescendo com taxa -2 por unidade de x. Mesmo que u não esteja variando ali ( u'(1)=0), a variação negativa de v faz o produto cair. Boa! Continue praticando regras como essa — elas aparecem direto na prova.

Resposta

-2

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